Partícula en una caja

En mecánica cuántica, la función de onda proporciona la descripción más fundamental del comportamiento de una partícula; las propiedades medibles de la partícula (como su posición, momento y energía) pueden derivarse de la función de onda. ^{[ 3 ]} La función de onda${\displaystyle \psi (x,t)}$se puede encontrar resolviendo la ecuación de Schrödinger para el sistema $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$ dónde${\displaystyle \hbar }$es la constante de Planck reducida ,${\displaystyle m}$es la masa de la partícula,${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria y${\displaystyle t}$es el tiempo.

Dentro de la caja, no actúan fuerzas sobre la partícula, lo que significa que la parte de la función de onda dentro de la caja oscila a través del espacio y el tiempo con la misma forma que una partícula libre . ^{[ 1 ] [ 4 ]} Para encontrar la solución general de la función de onda, observamos la ecuación de Schrödinger con la condición${\displaystyle V(x)=0}$dentro de la caja sustituida en:$${\displaystyle E\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)}$$Esto se puede reorganizar para que coincida con la forma de la ecuación del oscilador armónico simple en la mecánica clásica, lo que nos da la siguiente solución:

dónde${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son números complejos arbitrarios . La frecuencia de las oscilaciones a través del espacio y el tiempo viene dada por el número de onda.${\displaystyle k}$y la frecuencia angular${\displaystyle \omega }$respectivamente. Ambos están relacionados con la energía total de la partícula mediante la expresión

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$ que se conoce como la relación de dispersión para una partícula libre. ^{[ 1 ]} Sin embargo, dado que la partícula no es completamente libre sino que está bajo la influencia de un potencial, la energía de la partícula es $${\displaystyle E=T+V,}$$ donde T es la energía cinética y V la energía potencial. Por lo tanto, la energía de la partícula dada anteriormente no es lo mismo que${\displaystyle E=p^{2}/2m}$(es decir, el momento de la partícula no viene dado por${\displaystyle p=\hbar k}$). Por lo tanto, el número de onda k anterior describe en realidad los estados de energía de la partícula y no está relacionado con el momento como suele estarlo el "número de onda". La razón para llamar a k el número de onda es que enumera el número de crestas que tiene la función de onda dentro de la caja, y en este sentido es un número de onda. Esta discrepancia se puede ver más claramente a continuación, cuando descubrimos que el espectro de energía de la partícula es discreto (solo se permiten valores discretos de energía) pero el espectro de momento es continuo (el momento puede variar continuamente), es decir,${\displaystyle E\neq p^{2}/2m}$.

La amplitud de la función de onda en una posición dada está relacionada con la probabilidad de encontrar una partícula allí.${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$. Por lo tanto, la función de onda debe anularse en todas partes más allá de los bordes de la caja. ^{[ 1 ] [ 4 ]} Además, la amplitud de la función de onda no puede "saltar" abruptamente de un punto a otro. ^{[ 1 ]} Estas dos condiciones solo se satisfacen con funciones de onda de la forma ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}},}$$ dónde $${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$ y $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _ {n}={\frac {k_{n}^{2}\hbar ^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}},}$$para enteros positivos${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$. Las soluciones más sencillas,${\displaystyle k_{n}=0}$o${\displaystyle A=0}$ambas producen la función de onda trivial${\displaystyle \psi (x)=0}$, que describe una partícula que no existe en ninguna parte del sistema. ^{[ 6 ]} Aquí se observa que solo se permite un conjunto discreto de valores de energía y números de onda k para la partícula. Normalmente, en mecánica cuántica también se exige que la derivada de la función de onda, además de la función de onda misma, sea continua; aquí esta exigencia llevaría a que la única solución fuera la función cero constante, que no es lo que deseamos, por lo que renunciamos a esta exigencia (ya que este sistema con potencial infinito puede considerarse un caso límite abstracto no físico, podemos tratarlo como tal y "flexibilizar las reglas"). Nótese que renunciar a esta exigencia significa que la función de onda no es una función diferenciable en el límite de la caja, y por lo tanto se puede decir que la función de onda no resuelve la ecuación de Schrödinger en los puntos límite.${\displaystyle x=0}$y${\displaystyle x=L}$(pero lo soluciona en todos los demás casos).

Finalmente, la constante desconocida${\displaystyle A}$se puede encontrar normalizando la función de onda . Es decir, se deduce de $${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1,}$$ que cualquier número complejo${\displaystyle A}$cuyo valor absoluto es $${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}},}$$ produce el mismo estado normalizado.

Se espera que los autovalores , es decir, la energía${\displaystyle E_{n}}$de la caja debería ser la misma independientemente de su posición en el espacio, pero${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$cambios. Observa que${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$representa un cambio de fase en la función de onda. Este cambio de fase no tiene efecto al resolver la ecuación de Schrödinger y, por lo tanto, no afecta al valor propio .

Si establecemos el origen de coordenadas en el centro de la caja, podemos reescribir la parte espacial de la función de onda de forma concisa como: $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{para }}n{\text{ par}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{para }}n{\text{ impar}}.\end{cases}}}$$

Las funciones de onda de momento normalizadas,${\displaystyle \phi _{n}(p,t)}$, son la transformada de Fourier de las funciones de onda de posición normalizadas,${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$. Con${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$, como la variable conjugada de Fourier a la variable espacial,${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, la función de onda de momento viene dada por $${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{n}(p,t)={\widehat {\psi }}_{n}(p,t)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ipx/\hbar }\,dx,\\[1ex]&={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {\hbar n\pi }{\hbar n\pi +pL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\frac {pL}{2\hbar }}-{\frac {n\pi }{2}}\right)e^{-ipx_{c}/\hbar }e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},\\&=i^{(n-1)}{\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {\hbar n\pi }{\hbar n\pi +pL}}\right)\,{\frac {\sin \left({\frac {pL}{2\hbar }}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{\left({\frac {pL}{2\hbar }}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}}e^{-ipx_{c}/\hbar }e^{-i\omega _{n}t},\end{aligned}}}$$ donde la función sinc ,${\displaystyle {\rm {sinc}}(x)=\sin(x)/x}$. Tenga en cuenta que la variable,${\displaystyle k=p/\hbar \in \mathbb {R} }$, que se utiliza a menudo para describir las funciones de onda de momento, en función del vector de onda,${\displaystyle k}$, no es el k _n especial de las condiciones de contorno, que está vinculado a los autovalores de energía. Para la caja centrada, x _c = 0 , en el tiempo,${\displaystyle t=0}$, la solución es el producto de una función estrictamente de valor real y una fase compleja de módulo unitario,${\displaystyle i^{n-1}}$. La función,${\displaystyle {\rm {sinc}}(p)=\sin(p)/p}$, es una función par de p .

Se puede observar que los valores permitidos del momento en este paquete de ondas son continuos, y se puede concluir que para el estado de energía descrito por el número de onda k _n , el momento puede, cuando se mide, alcanzar otros valores más allá de,${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$.

Por lo tanto, también parece que, dado que la energía es${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$para el n -ésimo autoestado, la relación${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$no se cumple estrictamente para el momento medido p ; el autoestado de energía${\displaystyle \psi _{n}}$no es un autoestado de momento, y, de hecho, ni siquiera una superposición de dos autoestados de momento, como uno podría verse tentado a imaginar a partir de la ecuación ( 1 ) anterior: ¡peculiarmente, no tiene un momento bien definido antes de la medición!

En la física clásica, la partícula puede detectarse en cualquier lugar de la caja con igual probabilidad. En mecánica cuántica, sin embargo, la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición dada se deriva de la función de onda como${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$ Para la partícula en una caja, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en una posición dada depende de su estado y está dada por $${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$Por lo tanto, para cualquier valor de n mayor que uno, hay puntos,${\displaystyle x_{j}}$, dentro de la caja para la cual${\displaystyle P(x_{j})=0}$, lo que indica que existen nodos espaciales en los que la amplitud de probabilidad de la partícula también es cero, es decir${\displaystyle \psi (x_{j})=0.}$Sin embargo, si se consideran ecuaciones de onda relativistas , la densidad de probabilidad no tiende a cero en los nodos (aparte del caso trivial).${\displaystyle n=0}$). ^{[ 7 ]}

En mecánica cuántica, el valor promedio, o valor esperado, de la posición de una partícula viene dado por $${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$Para la partícula en estado estacionario en una caja, se puede demostrar que la posición promedio es siempre,${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$, independientemente del estado de la partícula. Para una superposición de estados, el valor esperado de la posición cambiará en función del término cruzado, que es proporcional a${\displaystyle \cos(\omega t)}$.

La varianza en la posición es una medida de la incertidumbre en la posición de la partícula: $${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx=\int _{x_{c}-{\frac {L}{2}}}^{x_{c}+{\frac {L}{2}}}(x-x_{c})^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).}$$La densidad de probabilidad de encontrar una partícula con un momento dado se deriva de la función de onda como${\displaystyle P(p)=|\phi (p)|^{2}}$Al igual que con la posición, la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en un momento dado depende de su estado y viene dada por $${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {\hbar n\pi }{\hbar n\pi +pL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\frac {pL}{2\hbar }}-{\frac {n\pi }{2}}\right),}$$para${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$, y${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$El valor esperado del momento se calcula entonces para que siempre sea cero, porque la integración se realiza sobre toda la recta real, y la densidad de probabilidad del momento es una función par del momento,${\displaystyle p}$, mientras que la variable de momento en sí es impar (${\displaystyle p=p^{1}}$, tiene potencia 1). La varianza en el momento se calcula como: $${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$Las incertidumbres en la posición y el momento (${\displaystyle \Delta x}$y${\displaystyle \Delta p}$) se definen como la raíz cuadrada de sus respectivas varianzas, también conocidas como sus respectivas desviaciones estándar , de modo que: $${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$Este producto aumenta al aumentar n , alcanzando un mínimo para n = 1. El valor de este producto para n = 1 es aproximadamente igual a 0,568.${\displaystyle \hbar }$, que obedece al principio de incertidumbre de Heisenberg , que establece que el producto será mayor o igual que${\displaystyle \hbar /2}$.

Otra medida de incertidumbre en la posición es la entropía de información de la distribución de probabilidad H _x : ^{[ 8 ]}$${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$ donde x ₀ es una longitud de referencia arbitraria.

Otra medida de incertidumbre en el momento es la entropía de información de la distribución de probabilidad H _p : $${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$ donde γ es la constante de Euler . El principio de incertidumbre entrópica de la mecánica cuántica establece que para${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$( naturales )

Para${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$La suma de las entropías de posición y momento resulta en: $${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$ donde la unidad es nat , y que satisface el principio de incertidumbre entrópica cuántica.

Las energías que corresponden a cada uno de los números de onda permitidos se pueden escribir como ^{[ 9 ]}$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ Los niveles de energía aumentan con${\displaystyle n^{2}}$, lo que significa que los niveles de alta energía están separados entre sí por una cantidad mayor que los niveles de baja energía. La energía más baja posible para la partícula (su energía de punto cero ) se encuentra en el estado 1, que está dado por ^{[ 10 ].}$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$ Por lo tanto, la partícula siempre tiene energía positiva. Esto contrasta con los sistemas clásicos, donde la partícula puede tener energía cero al permanecer inmóvil. Esto se puede explicar en términos del principio de incertidumbre , que establece que el producto de las incertidumbres en la posición y el momento de una partícula está limitado por $${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ Se puede demostrar que la incertidumbre en la posición de la partícula es proporcional al ancho de la caja. ^{[ 11 ]} Por lo tanto, la incertidumbre en el momento es aproximadamente inversamente proporcional al ancho de la caja. ^{[ 10 ]} La energía cinética de una partícula viene dada por${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$y, por lo tanto, la energía cinética mínima de la partícula en una caja es inversamente proporcional a la masa y al cuadrado del ancho del pozo, en concordancia cualitativa con el cálculo anterior. ^{[ 10 ]}

Si una partícula está atrapada en una caja bidimensional, puede moverse libremente en ella.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$-direcciones, entre barreras separadas por longitudes${\displaystyle L_{x}}$y${\displaystyle L_{y}}$respectivamente. Para una caja centrada, la función de onda de posición se puede escribir incluyendo la longitud de la caja como${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$. Utilizando un enfoque similar al de la caja unidimensional, se puede demostrar que las funciones de onda y las energías para una caja centrada vienen dadas respectivamente por $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$donde el vector de onda bidimensional viene dado por $${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

Para una caja tridimensional, las soluciones son $${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$ donde el vector de onda tridimensional viene dado por: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}&=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} \\[1ex]&={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .\end{aligned}}}$$

En general, para una caja n -dimensional, las soluciones son: $${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

Las funciones de onda de momento n -dimensionales también pueden representarse mediante${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$y la función de onda de momento para una caja centrada n -dimensional es entonces: $${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

Una característica interesante de las soluciones anteriores es que cuando dos o más de las longitudes son iguales (por ejemplo${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$), existen múltiples funciones de onda que corresponden a la misma energía total. Por ejemplo, la función de onda con${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$tiene la misma energía que la función de onda con${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$Esta situación se denomina degeneración , y cuando dos funciones de onda degeneradas tienen exactamente la misma energía, se dice que dicho nivel de energía es doblemente degenerado . La degeneración se debe a la simetría del sistema. En el caso anterior, dos de las longitudes son iguales, por lo que el sistema es simétrico respecto a una rotación de 90°.

La función de onda de una partícula cuántica en una caja con paredes de forma arbitraria viene dada por la ecuación de Helmholtz, sujeta a la condición de contorno de que la función de onda se anule en las paredes. Estos sistemas se estudian en el campo del caos cuántico para formas de pared cuyas correspondientes tablas de billar dinámicas no son integrables.

Los sistemas de polienos conjugados pueden modelarse utilizando el modelo de partícula en una caja. ^{[ 12 ]} El sistema conjugado de electrones puede modelarse como una caja unidimensional con una longitud igual a la distancia total del enlace desde un extremo del polieno al otro. En este caso, cada par de electrones en cada enlace π corresponde a su nivel de energía. La diferencia de energía entre dos niveles de energía, n _f y n _i, es: $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

La diferencia entre la energía del estado fundamental, n , y el primer estado excitado , n + 1, corresponde a la energía necesaria para excitar el sistema. Esta energía tiene una longitud de onda específica y, por lo tanto, un color de luz determinado, relacionado por: $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

Un ejemplo común de este fenómeno se encuentra en el β-caroteno . El β-caroteno (C ₄₀ H ₅₆ ) ^{[ 13 ]} es un polieno conjugado de color naranja y una longitud molecular de aproximadamente 3,8 nm (aunque la longitud de su cadena es de solo aproximadamente 2,4 nm). ^{[ 14 ]} Debido al alto grado de conjugación del β-caroteno , los electrones se dispersan a lo largo de la molécula, lo que permite modelarlo como una partícula unidimensional en una caja. El β-caroteno tiene 11 enlaces dobles carbono - carbono en conjugación; ^{[ 13 ]} cada uno de esos enlaces dobles contiene dos electrones π, por lo tanto, el β-caroteno tiene 22 electrones π. Con dos electrones por nivel de energía, el β-caroteno puede tratarse como una partícula en una caja en el nivel de energía n =11. ^{[ 14 ]} Por lo tanto, la energía mínima necesaria para excitar un electrón al siguiente nivel de energía se puede calcular, n =12, de la siguiente manera ^{[ 14 ]} (recordando que la masa de un electrón es 9,109 × 10 ⁻³¹ kg ^{[ 15 ]} ):   $${\displaystyle \Delta E={\frac {\left(n_{\text{f}}^{2}-n_{\text{i}}^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {\left(12^{2}-11^{2}\right)h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

Utilizando la relación previa entre longitud de onda y energía, recordando tanto la constante de Planck h como la velocidad de la luz c : $${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}={0.000\,000\,84}{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

Esto indica que el β-caroteno absorbe principalmente luz en el espectro infrarrojo, por lo que se vería blanco a simple vista. Sin embargo, la longitud de onda observada es de 450  nm, ^{[ 16 ]} lo que indica que la partícula en una caja no es un modelo perfecto para este sistema.

El modelo de partícula en una caja se puede aplicar a los láseres de pozo cuántico , que son diodos láser que consisten en un material semiconductor de "pozo" intercalado entre otras dos capas semiconductoras de material diferente. Debido a que las capas de este sándwich son muy delgadas (la capa intermedia suele tener  un espesor de unos 100 Å), se pueden observar efectos de confinamiento cuántico . ^{[ 17 ]} La idea de que los efectos cuánticos podrían aprovecharse para crear mejores diodos láser surgió en la década de 1970. El láser de pozo cuántico fue patentado en 1976 por R. Dingle y C. H. Henry. ^{[ 18 ]}

Específicamente, el comportamiento de los pozos cuánticos puede representarse mediante una partícula en un modelo de pozo finito. Deben seleccionarse dos condiciones de contorno. La primera es que la función de onda debe ser continua. A menudo, la segunda condición de contorno se elige como que la derivada de la función de onda debe ser continua a través del contorno, pero en el caso del pozo cuántico las masas son diferentes a cada lado del contorno. En cambio, la segunda condición de contorno se elige para conservar el flujo de partículas como${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$lo cual es consistente con el experimento. La solución para la partícula de pozo finito en una caja debe resolverse numéricamente, lo que resulta en funciones de onda que son funciones sinusoidales dentro del pozo cuántico y funciones de decaimiento exponencial en las barreras. ^{[ 19 ]} Esta cuantización de los niveles de energía de los electrones permite que un láser de pozo cuántico emita luz de manera más eficiente que los láseres semiconductores convencionales.

Debido a su pequeño tamaño, los puntos cuánticos no exhiben las propiedades macroscópicas del semiconductor especificado, sino que muestran estados de energía cuantizados. ^{[ 20 ]} Este efecto se conoce como confinamiento cuántico y ha dado lugar a numerosas aplicaciones de los puntos cuánticos, como el láser de pozo cuántico. ^{[ 20 ]}

Investigadores de la Universidad de Princeton han construido recientemente un láser de pozo cuántico del tamaño de un grano de arroz. ^{[ 21 ]} El láser se alimenta mediante un único electrón que atraviesa dos puntos cuánticos: un doble punto cuántico. El electrón pasa de un estado de mayor energía a uno de menor energía, emitiendo fotones en la región de las microondas. Estos fotones rebotan en espejos para crear un haz de luz: el láser. ^{[ 21 ]}

El láser de pozo cuántico se basa en gran medida en la interacción entre la luz y los electrones. Esta relación es un componente clave en las teorías de la mecánica cuántica, que incluyen la longitud de onda de De Broglie y la partícula en una caja. El doble punto cuántico permite a los científicos obtener un control total sobre el movimiento de un electrón, lo que resulta en la producción de un haz láser. ^{[ 21 ]}