Hispanopedia WikiEn geometría , un polígono sesgado infinito o apeirogono sesgado es un politopo infinito de 2 dimensiones con vértices que no son todos colineales . Los polígonos sesgados en zigzag infinitos son polígonos sesgados infinitos bidimensionales con vértices que alternan entre dos líneas paralelas. Los polígonos helicoidales infinitos son polígonos sesgados infinitos tridimensionales con vértices en la superficie de un cilindro .
En los polígonos de Petrie de los grupos de Coxeter afines e hiperbólicos existen polígonos sesgados infinitos regulares . Estos se construyen mediante un único operador, como la composición de todas las reflexiones del grupo de Coxeter.
Apeirogones sesgados en zigzag regulares en dos dimensiones
Un apeirogon sesgado en zigzag regular tiene simetría de grupo de frisos (2*∞), D ∞d .
Los apeirogonos sesgados en zigzag regulares existen como polígonos de Petrie de los tres teselados regulares del plano: {4,4}, {6,3} y {3,6}. Estos apeirogonos sesgados en zigzag regulares tienen ángulos internos de 90°, 120° y 60° respectivamente, con respecto a los polígonos regulares dentro de los teselados:
Apeirogones sesgados isotoxales en dos dimensiones
Un apeirogon isotoxal tiene un tipo de arista, entre dos tipos de vértices alternados. Hay un grado de libertad en el ángulo interno , α. {∞ α } es el polígono dual de un apeirogon sesgado isogonal.
Apeirogons sesgados isogonales en dos dimensiones.
Apeirogons isogonales sesgados en zig-zag en dos dimensiones
Un apeirogon sesgado isogonal alterna dos tipos de aristas con diversas simetrías de grupo de Frieze . Los apeirogons sesgados en zigzag regulares distorsionados producen apeirogons sesgados en zigzag isogonales con simetría traslacional:
Apeirogones sesgados alargados isogonales en dos dimensiones
Otros apeirogones oblicuos isogonales tienen aristas alternas paralelas a la dirección del friso. Estos apeirogones oblicuos alargados isogonales tienen simetría especular vertical en los puntos medios de las aristas paralelas a la dirección del friso:
Apeirogones oblicuos alargados cuasiregulares en dos dimensiones
Un apeirogon alargado isogonal sesgado tiene dos tipos de aristas diferentes; si ambos tipos de aristas tienen la misma longitud: no se puede llamar regular porque sus dos tipos de aristas siguen siendo diferentes ("arista trans" y "arista cis"), pero se puede llamar cuasirregular.
Los ejemplos de apeirogones cuasiregulares alargados y sesgados pueden verse como polígonos de Petrie truncados en teselaciones regulares truncadas del plano euclidiano:
Apeirogones hiperbólicos sesgados
De forma similar, se encuentran polígonos sesgados regulares infinitos tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico .
También existen polígonos hiperbólicos infinitos regulares sesgados como polígonos de Petrie que forman caminos de aristas en zigzag en todos los teselados regulares del plano hiperbólico . Y, al igual que en el plano euclidiano, los polígonos hiperbólicos infinitos cuasirregulares sesgados pueden construirse como polígonos de Petrie truncados dentro de las aristas de todos los teselados regulares truncados del plano hiperbólico.
Polígonos helicoidales infinitos en tres dimensiones
Un polígono helicoidal (oblicuo) infinito puede existir en tres dimensiones, donde los vértices se consideran limitados a la superficie de un cilindro . El esquema de la derecha es una vista en perspectiva 3D de dicho polígono helicoidal regular infinito.
Este polígono helicoidal infinito puede considerarse construido principalmente a partir de los vértices de una pila infinita de prismas o antiprismas n -gonales uniformes , aunque, en general, el ángulo de torsión no se limita a un divisor entero de 180°. Un polígono helicoidal (oblicuo) infinito posee simetría de eje helicoidal .
Una pila infinita de prismas , por ejemplo cubos, contiene un polígono helicoidal infinito a través de las diagonales de las caras cuadradas, con un ángulo de torsión de 90° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {4}.
Una pila infinita de antiprismas, por ejemplo octaedros , forma polígonos helicoidales infinitos, 3 aquí resaltados en rojo, verde y azul, cada uno con un ángulo de torsión de 60° y con un símbolo de Schläfli {∞} # {6}.
Una secuencia de aristas de una hélice de Boerdijk-Coxeter puede representar polígonos helicoidales regulares infinitos con un ángulo de torsión irracional:
Polígonos helicoidales isogonales infinitos en tres dimensiones
Una pila de prismas rectos puede generar apeirogones helicoidales isogonales con aristas alternas alrededor del eje y a lo largo del eje; por ejemplo, una pila de cubos puede generar este apeirogon helicoidal isogonal con aristas rojas y azules alternas:
De manera similar, una pila alternada de prismas y antiprismas puede producir un polígono helicoidal isogonal infinito; por ejemplo, una pila triangular de prismas y antiprismas con un polígono helicoidal isogonal infinito:
También se puede construir un polígono helicoidal isogonal infinito con un ángulo de torsión irracional a partir de tetraedros truncados apilados como una hélice de Boerdijk-Coxeter , alternando dos tipos de aristas, entre pares de caras hexagonales y pares de caras triangulares:
Referencias
- Coxeter , HSM; Politopos regulares complejos (1974). Capítulo 1. Polígonos regulares , 1.5. Polígonos regulares en n dimensiones, 1.7. Polígonos en zigzag y antiprismáticos , 1.8. Polígonos helicoidales , 4.3. Banderas y ortoesquemas , 11.3. Polígonos de Petrie .
- Tipos de polígonos