Carácter infinitesimal

En matemáticas, el carácter infinitesimal de una representación irreducible de un grupo de Lie semisimple en un espacio vectorial es, en términos generales, una aplicación a escalares que codifica el proceso de primero diferenciar y luego diagonalizar la representación. Por lo tanto, es una forma de extraer algo esencial de la representación mediante dos linealizaciones sucesivas. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$

El carácter infinitesimal es la forma lineal en el centro del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de la que la representación induce. Esta construcción se apoya en alguna versión extendida del lema de Schur para demostrar que cualquier in actúa como un escalar, que por abuso de notación podría escribirse como . ${\displaystyle Z}$${\displaystyle G}$${\displaystyle z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho (z)}$

En un lenguaje más clásico, es un operador diferencial , construido a partir de las transformaciones infinitesimales que se inducen en mediante el álgebra de Lie de . El efecto del lema de Schur es forzar a todos en a ser vectores propios simultáneos de actuando sobre . Llamando al valor propio correspondiente: ${\displaystyle z}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$${\displaystyle z}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \lambda =\lambda (z)}$

El carácter infinitesimal es por definición la aplicación:

${\displaystyle z\rightarrow \lambda (z)}$

Hay margen para una formulación más amplia. Por el isomorfismo de Harish-Chandra , el centro puede identificarse con la subálgebra de elementos del álgebra simétrica de la subálgebra de Cartan a que son invariantes bajo el grupo de Weyl, por lo que un carácter infinitesimal puede identificarse con un elemento de: ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle a^{*}\otimes C/W}$

las órbitas bajo el grupo de Weyl del espacio de funciones lineales complejas en el subálgebra de Cartan. ${\displaystyle W}$${\displaystyle a^{*}\otimes C}$

• Knapp, Anthony W. y Anthony William Knapp. Los grupos de Lie más allá de una introducción. Vol. 140. Boston: Birkhäuser, 1996.

• Isomorfismo Harish-Chandra