Infraestructura (teoría de números)

Una infraestructura unidimensional (abstracta)${\displaystyle (X,d)}$consta de un número real${\displaystyle R>0}$, un conjunto finito${\displaystyle X\neq \emptyset }$junto con un mapa inyectivo${\displaystyle d:X\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$. ^{[ 15 ]} El mapa${\displaystyle d}$A menudo se le llama mapa de distancias .

Al interpretar${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$como un círculo de circunferencia${\displaystyle R}$y mediante la identificación${\displaystyle X}$con${\displaystyle d(X)}$Se puede visualizar una infraestructura unidimensional como un círculo con un conjunto finito de puntos en él.

Un pequeño paso es una operación unaria${\displaystyle bs:X\to X}$en una infraestructura unidimensional${\displaystyle (X,d)}$. Visualizando la infraestructura como un círculo, un pequeño paso asigna cada punto de${\displaystyle d(X)}$el siguiente. Formalmente, se puede definir esto asignándole a${\displaystyle x\in X}$el número real${\displaystyle f_{x}:=\inf\{f'>0\mid d(x)+f'\in d(X)\}}$; entonces, se puede definir${\displaystyle bs(x):=d^{-1}(d(x)+f_{x})}$.

Observando que${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$es naturalmente un grupo abeliano , se puede considerar la suma${\displaystyle d(x)+d(y)\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$para${\displaystyle x,y\in X}$En general, esto no es un elemento de${\displaystyle d(X)}$. Pero en cambio, se puede tomar un elemento de${\displaystyle d(X)}$que se encuentra cerca . Para formalizar este concepto, supongamos que hay un mapa.${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$; entonces, se puede definir${\displaystyle gs(x,y):=red(d(x)+d(y))}$para obtener una operación binaria${\displaystyle gs:X\times X\to X}$, denominada operación de paso gigante . Nótese que esta operación, en general, no es asociativa .

La principal dificultad radica en cómo elegir el mapa.${\displaystyle rojo}$Suponiendo que uno desea tener la condición${\displaystyle red\circ d=\mathrm {id} _{X}}$, queda un abanico de posibilidades. Una posible elección ^{[ 15 ]} se da de la siguiente manera: para${\displaystyle v\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$, definir${\displaystyle f_{v}:=\inf\{f\geq 0\mid vf\in d(X)\}}$; entonces se puede definir${\displaystyle rojo(v):=d^{-1}(v-f_{v})}$Esta elección, que parece algo arbitraria, aparece de forma natural cuando se intenta obtener infraestructuras de campos globales. ^{[ 14 ]} También son posibles otras elecciones, por ejemplo, elegir un elemento${\displaystyle x\in d(X)}$de tal manera que${\displaystyle |d(x)-v|}$es mínimo (aquí,${\displaystyle |d(x)-v|}$significa${\displaystyle \inf\{|fv|\mid f\in d(x)\}}$, como${\displaystyle d(x)}$es de la forma${\displaystyle v+R\mathbb {Z} }$); una posible construcción en el caso de campos de funciones hiperelípticas cuadráticas reales es dada por SD Galbraith, M. Harrison y DJ Mireles Morales. ^{[ 16 ]}

D. Shanks observó la infraestructura en los campos de números cuadráticos reales al estudiar ciclos de formas cuadráticas binarias reducidas . Cabe destacar la estrecha relación entre la reducción de formas cuadráticas binarias y la expansión en fracciones continuas ; un paso en la expansión en fracciones continuas de una irracionalidad cuadrática determinada proporciona una operación unaria sobre el conjunto de formas reducidas, que recorre todas las formas reducidas de una clase de equivalencia . Al organizar todas estas formas reducidas en un ciclo, Shanks observó que se puede saltar rápidamente a formas reducidas más alejadas del inicio del círculo componiendo dos de dichas formas y reduciendo el resultado. Denominó a esta operación binaria sobre el conjunto de formas reducidas un paso gigante , y a la operación para pasar a la siguiente forma reducida del ciclo un paso pequeño .

El conjunto${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$tiene una operación de grupo natural y la operación de paso gigante se define en términos de ella. Por lo tanto, tiene sentido comparar la aritmética en la infraestructura con la aritmética en${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$Resulta que la operación grupal de${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$se puede describir usando pasos gigantes y pasos pequeños, representando elementos de${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$por elementos de${\displaystyle X}$junto con un número real relativamente pequeño; esto fue descrito por primera vez por D. Hühnlein y S. Paulus ^{[ 17 ]} y por MJ Jacobson, Jr., R. Scheidler y HC Williams ^{[ 18 ]} en el caso de infraestructuras obtenidas a partir de campos de números cuadráticos reales. Utilizaron números de punto flotante para representar los números reales y llamaron a estas representaciones representaciones CRIAD, respectivamente.${\displaystyle (f,p)}$-representaciones. De manera más general, se puede definir un concepto similar para todas las infraestructuras unidimensionales; a estas a veces se las llama${\displaystyle f}$-representaciones. ^{[ 15 ]}

Un conjunto de${\displaystyle f}$-representaciones es un subconjunto${\displaystyle fRep}$de${\displaystyle X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$de tal manera que el mapa${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} ,\;(x,f)\mapsto d(x)+f}$es una biyección y que${\displaystyle (x,0)\in fRep}$por cada${\displaystyle x\in X}$. Si${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X}$es un mapa de reducción,${\displaystyle fRep_{red}:=\{(x,f)\in X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \mid red(d(x)+f)=x\}}$es un conjunto de${\displaystyle f}$-representaciones; por el contrario, si${\displaystyle fRep}$es un conjunto de${\displaystyle f}$-representaciones, se puede obtener un mapa de reducción estableciendo${\displaystyle red(f)=\pi _{1}(\Psi _{fRep}^{-1}(f))}$, dónde${\displaystyle \pi _{1}:X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;(x,f)\mapsto x}$es la proyección sobre $X$. Por lo tanto, conjuntos de${\displaystyle f}$-las representaciones y los mapas de reducción están en una correspondencia uno a uno .

Utilizando la biyección${\displaystyle \Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$, uno puede detener la operación de grupo en${\displaystyle \mathbb {R} /R\mathbb {Z} }$a${\displaystyle fRep}$, por lo tanto, girando${\displaystyle fRep}$en un grupo abeliano${\displaystyle (fRep,+)}$por${\displaystyle x+y:=\Psi _{fRep}^{-1}(\Psi _{fRep}(x)+\Psi _{fRep}(y))}$,${\displaystyle x,y\in fRep}$En ciertos casos, esta operación de grupo puede describirse explícitamente sin utilizar${\displaystyle \Psi _{fRep}}$y${\displaystyle d}$.

En caso de que se utilice el mapa de reducción${\displaystyle red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;v\mapsto d^{-1}(v-\inf\{f\geq 0\mid vf\in d(X)\})}$, uno obtiene${\displaystyle fRep_{red}=\{(x,f)\mid f\geq 0,\;\forall f'\in [0,f):d(x)+f'\not \in d(X)\}}$. Dado${\displaystyle (x,f),(x',f')\in fRep_{red}}$, uno puede considerar${\displaystyle (x'',f'')}$con${\displaystyle x''=gs(x,x')}$y${\displaystyle f''=f+f'+(d(x)+d(x')-d(gs(x,x')))\geq 0}$; esto en general no es un elemento de${\displaystyle fRep_{red}}$, pero se puede reducir de la siguiente manera: se calcula${\displaystyle bs^{-1}(x'')}$y${\displaystyle f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x'')))}$; en caso de que este último no sea negativo, se reemplaza${\displaystyle (x'',f'')}$con${\displaystyle (bs^{-1}(x''),f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x''))))}$y continúa. Si el valor fue negativo, se tiene que${\displaystyle (x'',f'')\in fRep_{red}}$y eso${\displaystyle \Psi _{fRep_{red}}(x,f)+\Psi _{fRep_{red}}(x',f')=\Psi _{fRep_{red}}(x'',f'')}$, es decir${\displaystyle (x,f)+(x',f')=(x'',f'')}$.