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Ecuación de onda electromagnética no homogénea

En electromagnetismo y sus aplicaciones, una ecuación de onda electromagnética no homogénea , o ecuación de onda electromagnética no homogénea , es una de las ecuaciones de onda...

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En electromagnetismo y sus aplicaciones, una ecuación de onda electromagnética no homogénea , o ecuación de onda electromagnética no homogénea , es una de las ecuaciones de onda que describen la propagación de ondas electromagnéticas generadas por cargas y corrientes fuente distintas de cero . Los términos fuente en las ecuaciones de onda hacen que las ecuaciones diferenciales parciales sean no homogéneas ; si los términos fuente son cero, las ecuaciones se reducen a las ecuaciones de onda electromagnética homogéneas , que se derivan de las ecuaciones de Maxwell .

Ecuaciones de Maxwell

A modo de referencia, las ecuaciones de Maxwell se resumen a continuación en unidades del SI y unidades gaussianas . Estas ecuaciones rigen el campo eléctrico E y el campo magnético B debido a una densidad de carga fuente ρ y una densidad de corriente J :

donde ε 0 es la permitividad del vacío y μ 0 es la permeabilidad del vacío . A lo largo de todo el texto, la relación ε0μ0=1do2{\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}={\dfrac {1}{c^{2}}}} También se utiliza.

Unidades del SI

Campos E y B

Las ecuaciones de Maxwell pueden proporcionar directamente ecuaciones de onda no homogéneas para el campo eléctrico E y el campo magnético B. [ 1 ] Sustituyendo la ley de Gauss para la electricidad y la ley de Ampère en el rotacional de la ley de inducción de Faraday , y utilizando el rotacional de la identidad rotacional ∇ × (∇ × X ) = ∇(∇ ⋅ X ) − ∇ 2 X (el último término del lado derecho es el laplaciano vectorial , no el laplaciano aplicado a funciones escalares), se obtiene la ecuación de onda para el campo eléctrico E : 1do2∂2mi∂t2−∇2mi=−(1ε0∇ρ+μ0∂J∂t).{\displaystyle {\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\left({\dfrac {1}{\varepsilon _ {0}}}\nabla \rho +\mu _{0}{\dfrac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)\,.}

De manera similar, sustituyendo la ley de Gauss para el magnetismo en el rotacional de la ley circuital de Ampère (con el término adicional dependiente del tiempo de Maxwell), y utilizando el rotacional de la identidad del rotacional, se obtiene la ecuación de onda para el campo magnético B : 1do2∂2B∂t2−∇2B=μ0∇×J.{\displaystyle {\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J} \,.}

Los términos del lado izquierdo de cada ecuación corresponden al movimiento ondulatorio (el operador de D'Alembert que actúa sobre los campos), mientras que los términos del lado derecho representan las fuentes de las ondas. Las ecuaciones implican que se generan ondas electromagnéticas si existen gradientes en la densidad de carga ρ , variaciones en la densidad de corriente J , densidad de corriente variable en el tiempo o cualquier combinación de estas.

La ecuación anterior para el campo eléctrico se puede transformar en una ecuación de onda homogénea con un término de amortiguación si estudiamos un problema donde la ley de Ohm se expresa en forma diferencial.JF=σmi{\displaystyle \mathbf {J_ {f}} =\sigma \mathbf {E}}sostiene (suponemosJb=0{\displaystyle \mathbf {J_ {b}} =0}es decir, estamos tratando con conductores homogéneos que tienen una permeabilidad y permitividad relativas alrededor de 1), y sustituyendo1ε0∇ρ=∇(∇⋅mi){\displaystyle {\dfrac {1}{\varepsilon _{0}}}\nabla \rho =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )}de la forma diferencial de la ley de Gauss y J=Jb+JF=σmi{\displaystyle \mathbf {J=J_{b}+J_{f}} =\sigma \mathbf {E} }.

La ecuación homogénea final con solo el campo eléctrico desconocido y sus derivadas parciales es 1do2∂2mi∂t2−∇2mi+∇(∇⋅mi)+σμ0∂mi∂t=0.{\displaystyle {\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} )+\sigma \mu _{0}{\dfrac {\partial \mathbf {E} }{\t parcial}}=0.} Las soluciones para la ecuación homogénea anterior para el campo eléctrico son infinitas y debemos especificar condiciones de contorno para el campo eléctrico con el fin de encontrar soluciones específicas.

Estas formulaciones de las ecuaciones de onda no se utilizan con frecuencia en la práctica, ya que los términos fuente resultan demasiado complejos. Una formulación más sencilla, más común en la literatura y utilizada en teoría, emplea la formulación del potencial electromagnético , que se presenta a continuación.

Campos potenciales A y φ

Introducimos el potencial eléctrico φ (un potencial escalar ) y el potencial magnético A (un potencial vectorial ) definidos a partir de los campos E y B por: mi=−∇φ−∂A∂t,B=∇×A.{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}

Las cuatro ecuaciones de Maxwell en el vacío con fuentes de carga ρ y corriente J se reducen a dos ecuaciones; la ley de Gauss para la electricidad es: ∇2φ+∂∂t(∇⋅A)=−1ε0ρ,{\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,,} dónde∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}Aquí se aplica el laplaciano a funciones escalares, y la ley de Ampère-Maxwell es: ∇2A−1do2∂2A∂t2−∇(1do2∂φ∂t+∇⋅A)=−μ0J{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,} dónde∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}Aquí se aplica el laplaciano vectorial a campos vectoriales. Los términos fuente son ahora mucho más simples, pero los términos de onda son menos evidentes. Dado que los potenciales no son únicos, sino que tienen libertad de calibre , estas ecuaciones se pueden simplificar fijando el calibre . Una opción común es la condición de calibre de Lorenz : 1do2∂φ∂t+∇⋅A=0{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}

Entonces, las ecuaciones de onda no homogéneas se desacoplan y se vuelven simétricas en los potenciales: ∇2φ−1do2∂2φ∂t2=−1ε0ρ,∇2A−1do2∂2A∂t2=−μ0J.{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,,\\[2.75ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.\end{aligned}}}

Para referencia, en unidades cgs estas ecuaciones son ∇2φ−1do2∂2φ∂t2=−4πρ∇2A−1do2∂2A∂t2=−4πdoJ{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=-4\pi \rho \\[2ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \end{aligned}}} con el indicador Lorenz 1do∂φ∂t+∇⋅A=0.{\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0\,.}

Forma covariante de la ecuación de onda no homogénea

Dilatación del tiempo en el movimiento transversal. El requisito de que la velocidad de la luz sea constante en cualquier sistema de referencia inercial conduce a la teoría de la relatividad.

Las ecuaciones relativistas de Maxwell se pueden escribir en forma covariante como ◻Aμ =dmiF ∂β∂βAμ =dmiF Aμ,ββ=−μ0JμSI◻Aμ =dmiF ∂β∂βAμ =dmiF Aμ,ββ=−4πdoJμcgs{\displaystyle {\begin{aligned}\Box A^{\mu }&\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-\mu _{0}J^{\mu }&&{\text{SI}}\\[1.15ex]\Box A^{\mu }&\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-{\tfrac {4\pi }{c}}J^{\mu }&&{\text{cgs}}\end{aligned}}} dónde ◻=∂β∂β=∇2−1do2∂2∂t2{\displaystyle \Box =\partial _{\beta }\partial ^{\beta }=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}} es el operador d'Alembert , Jμ=(doρ,J){\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,\mathbf {J} \right)} es la corriente de cuatro vías , ∂∂incógnitaa =dmiF ∂a =dmiF ,a =dmiF (∂/∂dot,∇){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\partial /\partial ct,\nabla )} es el 4-gradiente , y Aμ=(φ/do,A)SIAμ=(φ,A)cgs{\displaystyle {\begin{aligned}A^{\mu }&=(\varphi /c,\mathbf {A} )&&{\text{SI}}\\[1ex]A^{\mu }&=(\varphi ,\mathbf {A} )&&{\text{cgs}}\end{aligned}}} es el cuadripotencial electromagnético con la condición de calibre de Lorenz∂μAμ=0.{\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0\,.}

Espacio-tiempo curvo

La ecuación de onda electromagnética se modifica de dos maneras en el espaciotiempo curvo : la derivada se reemplaza por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura (unidades del SI). −Aα;ββ+RαβAβ=μ0Jα{\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\alpha }} donde Rαβ{\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }} es el tensor de curvatura de Ricci . Aquí el punto y coma indica diferenciación covariante. Para obtener la ecuación en unidades cgs, reemplace la permeabilidad con 4 π / c .

Se asume la condición de calibre de Lorenz en el espaciotiempo curvo:Aμ;μ=0.{\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0\,.}

La ecuación de onda para el tensor electromagnéticoFμν{\displaystyle F_{\mu \nu }}tiene la forma: [ 2 ]

∇σ∇σFμν=μ0∇μJν−μ0∇νJμ−FνρRρμ+FμρRρν+RμνληFηλ.{\displaystyle \nabla ^{\sigma }\nabla _{\sigma }F_{\mu \nu }=\mu _{0}\nabla _{\mu }J_{\nu }-\mu _{0}\nabla _{\nu }J_{\mu }-F_{\nu \rho }R^{\rho }{}_{\mu }+F_{\mu \rho }R^{\rho }{}_{\nu }+R_{\mu \nu \lambda \eta }F^{\eta \lambda }.}

Soluciones a la ecuación de onda electromagnética no homogénea

Onda esférica retardada. La fuente de la onda se encuentra en el instante t ' . El frente de onda se aleja de la fuente a medida que aumenta el tiempo para t > t ' . Para soluciones avanzadas, el frente de onda retrocede en el tiempo desde la fuente para t < t ' .

En el caso de que no haya límites que rodeen las fuentes, las soluciones (unidades cgs) de las ecuaciones de onda no homogéneas son: φ(r,t)=∫δ(t′+1do|r−r′|−t)|r−r′|ρ(r′,t′)d3r′dt′{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'} y A(r,t)=∫δ(t′+1do|r−r′|−t)|r−r′|J(r′,t′)dod3r′dt′{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')}{c}}\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'} dónde δ(t′+1do|r−r′|−t){\displaystyle \delta \left(t'+{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)} es una función delta de Dirac .

Estas soluciones se conocen como potenciales de calibre de Lorenz retardados . Representan una superposición de ondas de luz esféricas que se propagan desde las fuentes de las ondas hacia el futuro.

También existen soluciones avanzadas (unidades cgs). φ(r,t)=∫δ(t′−1do|r−r′|−t)|r−r′|ρ(r′,t′)d3r′dt′{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'-{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'} y A(r,t)=∫δ(t′−1do|r−r′|−t)|r−r′|J(r′,t′)dod3r′dt′.{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'-{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'\,.}

Estas representan una superposición de ondas esféricas que viajan desde el futuro hacia el presente.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Jackson 1998 , pág. 246 
  2. ↑ Fedosin, SG (2026-05-04). "Análisis de la solución de ecuaciones para el campo magnético de una bola giratoria usando polinomios" . Discover Physics . 2 5. doi : 10.1007/s44418-026-00008-w . S2CID 287968904 . 

Electromagnetismo

Artículos de revistas

  • James Clerk Maxwell, « Una teoría dinámica del campo electromagnético », Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 , 459-512 (1865). (Este artículo acompañó una presentación que Maxwell realizó ante la Royal Society el 8 de diciembre de 1864).

Libros de texto de nivel universitario

  • Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3.ª  ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
  • Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: electricidad, magnetismo, luz y física moderna elemental (5.ª  ed.). WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
  • Purcell, Edward M. (1985). Electricidad y magnetismo . Nueva York: McGraw-Hill.
  • Haus, Hermann A.; Melcher, James R. (1989). Campos electromagnéticos y energía . Prentice-Hall. ISBN 0-13-249020-X.
  • Banesh Hoffman (1983). La relatividad y sus raíces . Nueva York: Freeman.
  • David H. Staelin; Ann W. Morgenthaler; Jin Au Kong (1994). Ondas electromagnéticas . Prentice-Hall. ISBN 0-13-225871-4.
  • Stevens, Charles F. (1995). Las seis teorías fundamentales de la física moderna . MIT Press. ISBN 0-262-69188-4..

Libros de texto de nivel de posgrado

  • Robert Wald, Electromagnetismo clásico avanzado, (2022).
  • Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª  ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
  • Landau, LD , La teoría clásica de campos (Curso de física teórica: Volumen 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
  • Maxwell, James C. (1954). Tratado sobre electricidad y magnetismo . Dover. ISBN 0-486-60637-6.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Misner, Charles W.; Thorne, Kip S. (1970). Gravitación . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.( Proporciona un tratamiento de las ecuaciones de Maxwell en términos de formas diferenciales).

Cálculo vectorial y otros temas

  • Schey, Harry Moritz (2005). Div, Grad, Curl, and all that: An informal text on vector calculus (4.ª  ed.). Norton. ISBN 978-0-393-92516-6.
  • Arfken et al., Métodos matemáticos para físicos, 6.ª edición (2005). Los capítulos 1 y 2 tratan sobre cálculo vectorial y cálculo tensorial, respectivamente.
  • David Tong, Lecciones sobre cálculo vectorial . Apuntes de clase disponibles gratuitamente aquí: https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/vc.html