teorema del valor inicial

Supongamos primero que${\displaystyle f}$está acotado, es decir${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha }$Un cambio de variable en la integral ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$muestra que

${\displaystyle sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt}$.

Desde${\displaystyle f}$es acotado, el Teorema de Convergencia Dominada implica que

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha .}$

Por supuesto, aquí no necesitamos realmente la DCT; se puede dar una demostración muy simple utilizando únicamente cálculo elemental:

Comience eligiendo${\displaystyle A}$de modo que${\displaystyle \int _{A}^{\infty }e^{-t}\,dt<\epsilon }$y luego observe que${\displaystyle \lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha }$uniformemente para${\displaystyle t\in (0,A]}$.

El teorema asume precisamente eso${\displaystyle f(t)=O(e^{ct})}$se deduce del teorema para acotado${\displaystyle f}$:

Definir${\displaystyle g(t)=e^{-ct}f(t)}$. Entonces${\displaystyle g}$está acotado, por lo que hemos demostrado que${\displaystyle g(0^{+})=\lim _{s\to \infty }sG(s)}$. Pero${\displaystyle f(0^{+})=g(0^{+})}$y${\displaystyle G(s)=F(s+c)}$, entonces

${\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\to \infty }(sc)F(s)=\lim _{s\to \infty }sF(s+c)=\lim _{s\to \infty }sG(s),}$

desde${\displaystyle \lim _{s\to \infty }F(s)=0}$.