Módulo inyectivo

Trivialmente, el módulo cero${\displaystyle \{0\}}$es inyectivo.

Dado un campo${\displaystyle k}$, cada${\displaystyle k}$- espacio vectorial${\displaystyle Q}$es un inyectivo${\displaystyle k}$-módulo. Motivo: si${\displaystyle Q}$es un subespacio de${\displaystyle V}$, podemos encontrar una base de${\displaystyle Q}$y extenderlo a una base de${\displaystyle V}$. Los nuevos vectores base de extensión abarcan un subespacio${\displaystyle K}$de${\displaystyle V}$y${\displaystyle V}$es la suma directa interna de${\displaystyle Q}$y${\displaystyle K}$. Nótese que el complemento directo${\displaystyle K}$de${\displaystyle Q}$no está determinado de forma única por${\displaystyle Q}$y asimismo el mapa de extensión${\displaystyle h}$En la definición anterior, normalmente no es único.

Los racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$(con adición) forman un grupo abeliano inyectivo (es decir, un grupo inyectivo)${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo). El grupo de factores${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$y el grupo del círculo también son inyectivos${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulos. El grupo de factores${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$para${\displaystyle n>1}$es inyectivo como un${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-módulo, pero no inyectivo como grupo abeliano.

De manera más general, para cualquier dominio de integridad R con cuerpo de fracciones K , el R -módulo K es un R- módulo inyectivo, y de hecho el R -módulo inyectivo más pequeño que contiene a R. Para cualquier dominio de Dedekind , el módulo cociente K / R también es inyectivo, y sus sumandos indescomponibles son las localizaciones.${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$para los ideales primos distintos de cero${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$El ideal cero también es primo y corresponde al K inyectivo . De esta manera, existe una correspondencia biunívoca entre ideales primos y módulos inyectivos indescomponibles.

Eben Matlis ( Lam 1999 , §3I) ofrece una teoría particularmente rica para anillos noetherianos conmutativos . Todo módulo inyectivo es una suma directa única de módulos inyectivos indescomponibles, y estos módulos se identifican unívocamente como las envolturas inyectivas de los cocientes R / P, donde P varía sobre el espectro primo del anillo. La envoltura inyectiva de R / P , como R -módulo, es canónicamente un módulo R _P , y es la envoltura R _P -inyectiva de R / P . En otras palabras, basta con considerar anillos locales . El anillo de endomorfismos de la envoltura inyectiva de R / P es la completitud.${\displaystyle {\sombrero {R}}_{P}}$de R en P . ^{[ 1 ]}

Dos ejemplos son la envoltura inyectiva del Z -módulo Z / p Z (el grupo de Prüfer ) y la envoltura inyectiva del k [ x ]-módulo k (el anillo de polinomios inversos). Este último se describe fácilmente como k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]. Este módulo tiene una base que consiste en "monomios inversos", es decir x ^{− n} para n = 0, 1, 2, …. La multiplicación por escalares es como se espera, y la multiplicación por x se comporta normalmente excepto que x ·1 = 0. El anillo de endomorfismos es simplemente el anillo de series de potencias formales .

Si G es un grupo finito y k un cuerpo con característica 0, entonces en la teoría de representaciones de grupos se demuestra que cualquier subrepresentación de una dada es ya un sumando directo de la misma. Traducido al lenguaje de módulos, esto significa que todos los módulos sobre el álgebra de grupo kG son inyectivos. Si la característica de k no es cero, el siguiente ejemplo puede resultar útil.

Si A es un álgebra asociativa unitaria sobre el cuerpo k con dimensión finita sobre k , entonces Hom _k (−, k ) es una dualidad entre A- módulos izquierdos finitamente generados y A- módulos derechos finitamente generados. Por lo tanto, los A -módulos izquierdos inyectivos finitamente generados son precisamente los módulos de la forma Hom _k ( P , k ), donde P es un A- módulo derecho proyectivo finitamente generado . Para álgebras simétricas , la dualidad se comporta particularmente bien y los módulos proyectivos e inyectivos coinciden.

Para cualquier anillo artiniano , al igual que para los anillos conmutativos , existe una correspondencia biunívoca entre ideales primos y módulos inyectivos indescomponibles. En este caso, la correspondencia es quizás aún más simple: un ideal primo es un aniquilador de un único módulo simple, y el módulo inyectivo indescomponible correspondiente es su envoltura inyectiva . Para álgebras de dimensión finita sobre cuerpos, estas envolturas inyectivas son módulos finitamente generados ( Lam 1999 , §3G, §3J) .

Para un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$sobre un campo${\displaystyle k}$de característica 0, la categoría de módulos${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})}$tiene una descripción relativamente sencilla de sus módulos inyectivos. ^{[ 4 ]} Usando el álgebra envolvente universal cualquier inyectivo${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-el módulo se puede construir a partir del${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

para algunos${\displaystyle k}$-espacio vectorial${\displaystyle V}$. Tenga en cuenta que este espacio vectorial tiene un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-estructura del módulo de la inyección

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

De hecho, cada${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-el módulo tiene una inyección en algún${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$y cada inyección${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-módulo es un sumando directo de algún${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$.

Sobre un anillo noetheriano conmutativo${\displaystyle R}$, cada módulo inyectivo es una suma directa de módulos inyectivos indescomponibles y cada módulo inyectivo indescomponible es la envoltura inyectiva del campo residual en un primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Es decir, para un inyectivo${\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)}$, existe un isomorfismo

${\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

dónde${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$son los cascos inyectables de los módulos${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$. ^{[ 5 ]} Además, si${\displaystyle I}$es el casco inyectivo de algún módulo${\displaystyle M}$entonces el${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$son los primos asociados de${\displaystyle M}$. ^{[ 2 ]}

Cualquier producto de módulos inyectivos (incluso infinitos) es inyectivo; recíprocamente, si un producto directo de módulos es inyectivo, entonces cada módulo es inyectivo ( Lam 1999 , p. 61) . Toda suma directa de un número finito de módulos inyectivos es inyectiva. En general, los submódulos, los módulos factoriales o las sumas directas infinitas de módulos inyectivos no tienen por qué ser inyectivos. Todo submódulo de todo módulo inyectivo es inyectivo si y solo si el anillo es semisimple artiniano ( Golan & Head 1991 , p. 152) ; todo módulo factorial de todo módulo inyectivo es inyectivo si y solo si el anillo es hereditario ( Lam 1999 , Th. 3.22) .  

El teorema de Bass-Papp establece que toda suma directa infinita de módulos inyectivos por la derecha (izquierda) es inyectiva si y solo si el anillo es noetheriano por la derecha (izquierda) ( Lam 1999 , págs. 80-81, Th 3.46) . ^{[ 6 ]} 

En el artículo original de Baer, ​​demostró un resultado útil, generalmente conocido como el Criterio de Baer, ​​para comprobar si un módulo es inyectivo: un R -módulo izquierdo Q es inyectivo si y solo si cualquier homomorfismo g  : I → Q definido en un ideal izquierdo I de R puede extenderse a todo R.

Utilizando este criterio, se puede demostrar que Q es un grupo abeliano inyectivo (es decir, un módulo inyectivo sobre Z ). De forma más general, un grupo abeliano es inyectivo si y solo si es divisible . Aún más general: un módulo sobre un dominio de ideales principales es inyectivo si y solo si es divisible (el caso de los espacios vectoriales es un ejemplo de este teorema, ya que todo cuerpo es un dominio de ideales principales y todo espacio vectorial es divisible). Sobre un dominio de integridad general, aún tenemos una implicación: todo módulo inyectivo sobre un dominio de integridad es divisible.

El criterio de Baer se ha refinado de diversas maneras ( Golan y Head, 1991 , p. 119) , incluyendo un resultado de ( Smith, 1981 ) y ( Vámos, 1983 ) que indica que, para un anillo noetheriano conmutativo, basta con considerar únicamente ideales primos I. El dual del criterio de Baer, ​​que proporcionaría una prueba de proyectividad, es falso en general. Por ejemplo, el Z -módulo Q satisface el dual del criterio de Baer, ​​pero no es proyectivo. 

Quizás el módulo inyectivo más importante sea el grupo abeliano Q / Z . Es un cogenerador inyectivo en la categoría de grupos abelianos , lo que significa que es inyectivo y cualquier otro módulo está contenido en un producto suficientemente grande de copias de Q / Z . Así, en particular, todo grupo abeliano es un subgrupo de uno inyectivo. Es bastante significativo que esto también sea cierto sobre cualquier anillo: todo módulo es un submódulo de uno inyectivo, o "la categoría de R -módulos izquierdos tiene suficientes inyectivos". Para demostrar esto, se utilizan las propiedades peculiares del grupo abeliano Q / Z para construir un cogenerador inyectivo en la categoría de R -módulos izquierdos.

Para un R -módulo izquierdo M , el llamado "módulo de caracteres" M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) es un R -módulo derecho que exhibe una interesante dualidad, no entre módulos inyectivos y módulos proyectivos , sino entre módulos inyectivos y módulos planos ( Enochs & Jenda 2000 , pp. 78–80) . Para cualquier anillo R , un R -módulo izquierdo es plano si y solo si su módulo de caracteres es inyectivo. Si R es noetheriano izquierdo, entonces un R -módulo izquierdo es inyectivo si y solo si su módulo de caracteres es plano. 

La envoltura inyectiva de un módulo es el módulo inyectivo más pequeño que contiene al dado y fue descrito en ( Eckmann y Schopf 1953 ) .

Se pueden usar envolventes inyectivas para definir una resolución inyectiva mínima (véase más abajo). Si cada término de la resolución inyectiva es la envolvente inyectiva del conúcleo de la aplicación anterior, entonces la resolución inyectiva tiene una longitud mínima.

Cada módulo M también tiene una resolución inyectiva : una secuencia exacta de la forma

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

donde los I ^j son módulos inyectivos. Las resoluciones inyectivas se pueden utilizar para definir functores derivados como el functor Ext .

La longitud de una resolución inyectiva finita es el primer índice n tal que I ⁿ es distinto de cero e I ⁱ  =  0 para i mayor que n . Si un módulo M admite una resolución inyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones inyectivas finitas de M se denomina dimensión inyectiva y se denota id( M ). Si M no admite una resolución inyectiva finita, entonces, por convención, se dice que la dimensión inyectiva es infinita. ( Lam 1999 , §5C) Como ejemplo, consideremos un módulo M tal que id( M )  =  0. En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → M → I ⁰ → 0 indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto, M mismo es inyectivo. ^{[ 7 ]}

Equivalentemente, la dimensión inyectiva de M es el entero mínimo (si existe tal, de lo contrario ∞) n tal que Ext ^N _A (–, M ) = 0 para todo N > n .

Cada submódulo inyectivo de un módulo inyectivo es un sumando directo, por lo que es importante comprender los módulos inyectivos indescomponibles ( Lam 1999 , §3F) .

Todo módulo inyectivo indescomponible tiene un anillo de endomorfismos locales . Un módulo se denomina módulo uniforme si cada par de submódulos no nulos tienen una intersección no nula. Para un módulo inyectivo M, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• M es indescomponible
• M es distinto de cero y es la envoltura inyectiva de cada submódulo distinto de cero.
• M es uniforme
• M es la envoltura inyectiva de un módulo uniforme.
• M es la envoltura inyectiva de un módulo cíclico uniforme
• M tiene un anillo de endomorfismo local

Sobre un anillo noetheriano, cada módulo inyectivo es la suma directa de módulos inyectivos indescomponibles (determinados de forma única). Sobre un anillo noetheriano conmutativo, esto proporciona una comprensión particularmente agradable de todos los módulos inyectivos, descritos en ( Matlis 1958 ) . Los módulos inyectivos indescomponibles son las envolturas inyectivas de los módulos R / p para p un ideal primo del anillo R. Además, la envoltura inyectiva M de R / p tiene una filtración creciente por módulos M _n dada por los anuladores de los ideales p ⁿ , y M _{n +1} / M _n es isomorfo como espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo cociente k ( p ) de R / p a Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Es importante poder considerar módulos sobre subanillos o anillos cociente , especialmente, por ejemplo, anillos de polinomios . En general, esto es difícil, pero se conocen varios resultados ( Lam 1999 , p. 62) . 

Sean S y R anillos, y P un bimódulo R- izquierdo , S- derecho , plano como módulo R- izquierdo . Para cualquier S -módulo derecho inyectivo M , el conjunto de homomorfismos de módulos Hom _S ( P , M ) es un R -módulo derecho inyectivo . La misma afirmación se mantiene, por supuesto, tras intercambiar los atributos izquierdo y derecho.

Por ejemplo, si R es un subanillo de S tal que S es un R -módulo plano, entonces todo S -módulo inyectivo es un R -módulo inyectivo. En particular, si R es un dominio de integridad y S su cuerpo de fracciones , entonces todo espacio vectorial sobre S es un R -módulo inyectivo . De manera similar, todo R [ x ]-módulo inyectivo es un R -módulo inyectivo .

En la dirección opuesta, un homomorfismo de anillos${\displaystyle f:S\to R}$convierte a R en un bimódulo R izquierdo, S derecho , mediante multiplicación izquierda y derecha. Al ser libre sobre sí mismo, R también es plano como un R -módulo izquierdo. Especializando la afirmación anterior para P = R , dice que cuando M es un S -módulo derecho inyectivo, el módulo coinducido${\displaystyle f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)}$es un R -módulo derecho inyectivo. Por lo tanto, la coinducción sobre f produce R -módulos inyectivos a partir de S -módulos inyectivos .

Para anillos cociente R / I , el cambio de anillos también es muy claro. Un R -módulo es un R / I -módulo precisamente cuando es aniquilado por I. El submódulo ann _I ( M ) = { m en M  : im = 0 para todo i en I } es un submódulo izquierdo del R -módulo izquierdo M , y es el submódulo más grande de M que es un R / I -módulo. Si M es un R -módulo izquierdo inyectivo, entonces ann _I ( M ) es un R / I -módulo izquierdo inyectivo . Aplicando esto a R = Z , I = n Z y M = Q / Z , se obtiene el hecho conocido de que Z / n Z es inyectivo como módulo sobre sí mismo. Si bien es fácil convertir módulos R inyectivos en módulos R / I inyectivos , este proceso no convierte resoluciones R inyectivas en resoluciones R / I inyectivas , y la homología del complejo resultante es una de las áreas de estudio iniciales y fundamentales del álgebra homológica relativa.

El libro de texto ( Rotman 1979 , p. 103) tiene una demostración errónea de que la localización preserva los inyectivos, pero se dio un contraejemplo en ( Dade 1981 ) . 

Todo anillo con unidad es un módulo libre y, por lo tanto, es proyectivo como módulo sobre sí mismo, pero es más raro que un anillo sea inyectivo como módulo sobre sí mismo ( Lam 1999 , §3B) . Si un anillo es inyectivo sobre sí mismo como módulo derecho, entonces se le llama anillo autoinyectivo derecho. Toda álgebra de Frobenius es autoinyectiva, pero ningún dominio de integridad que no sea un cuerpo es autoinyectivo. Todo cociente propio de un dominio de Dedekind es autoinyectivo. ^{[ 8 ]}

Un anillo noetheriano derecho y autoinyectivo derecho se denomina anillo cuasi-Frobenius , y es artiniano bilateral e inyectivo bilateral ( Lam 1999 , Teorema 15.1) . Una propiedad importante de la teoría de módulos de los anillos cuasi-Frobenius es que los módulos proyectivos son exactamente los módulos inyectivos.

También se habla de objetos inyectivos en categorías más generales que las categorías de módulos, por ejemplo en categorías de funtores o en categorías de haces de _OX -módulos sobre algún espacio anillado ( X ,OX ₎ . Se utiliza la siguiente definición general: un objeto Q de la categoría C es inyectivo si para cualquier monomorfismo f  : X → Y en C y cualquier morfismo g  : X → Q existe un morfismo h  : Y → Q con hf = g .

La noción de objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos se estudió de forma algo independiente de los módulos inyectivos bajo el término grupo divisible . Aquí, un Z -módulo M es inyectivo si y solo si n ⋅ M = M para todo entero distinto de cero n . Aquí, las relaciones entre módulos planos , submódulos puros y módulos inyectivos son más claras, ya que simplemente se refiere a ciertas propiedades de divisibilidad de los elementos del módulo por enteros.

En álgebra homológica relativa, la propiedad de extensión de los homomorfismos puede requerirse solo para ciertos submódulos, en lugar de para todos. Por ejemplo, un módulo puramente inyectivo es un módulo en el que un homomorfismo de un submódulo puro puede extenderse a todo el módulo.

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