Resolución (álgebra)

Dado un módulo${\displaystyle M}$sobre un anillo${\displaystyle R}$, una resolución izquierda (o simplemente resolución ) de${\displaystyle M}$es una secuencia exacta (posiblemente infinita) de${\displaystyle R}$-módulos

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Los homomorfismos${\displaystyle d_{i}}$se denominan mapas de límites. El mapa${\displaystyle \varepsilon }$se denomina mapa de aumento . Para mayor brevedad, la resolución anterior se puede escribir como

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

La noción dual es la de una resolución correcta (o corresolución , o simplemente resolución ). Específicamente, dado un módulo${\displaystyle M}$sobre un anillo${\displaystyle R}$, una resolución correcta es una secuencia exacta posiblemente infinita de${\displaystyle R}$-módulos

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots,}$

donde cada${\displaystyle C^{i}}$es un${\displaystyle R}$-módulo (es común usar superíndices en los objetos de la resolución y en los mapas entre ellos para indicar la naturaleza dual de dicha resolución). Para mayor brevedad, la resolución anterior se puede escribir como

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

Se dice que una (co)resolución es finita si solo un número finito de los módulos involucrados son distintos de cero. La longitud de una resolución finita es el índice máximo.${\displaystyle n}$etiquetar un módulo distinto de cero en la resolución finita.

En muchas circunstancias se imponen condiciones a los módulos.${\displaystyle E_{i}}$resolver el módulo dado${\displaystyle M}$. Por ejemplo, una resolución libre de un módulo${\displaystyle M}$es una resolución izquierda en la que todos los módulos${\displaystyle E_{i}}$son gratis${\displaystyle R}$-módulos. Asimismo, las resoluciones proyectivas y planas son resoluciones izquierdas tales que todas las${\displaystyle E_{i}}$ son proyectivos y planos${\displaystyle R}$-módulos, respectivamente. Las resoluciones inyectivas son resoluciones derechas cuyas${\displaystyle C^{i}}$son todos módulos inyectivos .

Cada${\displaystyle R}$-módulo posee una resolución izquierda libre. ^{[ 3 ]} Con mayor razón , todo módulo también admite resoluciones proyectivas y planas. La idea de la prueba es definir ${\displaystyle E_{0}}$ser libre${\displaystyle R}$-módulo generado por los elementos de${\displaystyle M}$, y luego${\displaystyle E_{1}}$ser libre${\displaystyle R}$-módulo generado por los elementos del núcleo del mapa natural${\displaystyle E_{0}}$→${\displaystyle M}$etc. Dualmente, cada${\displaystyle R}$-módulo posee una resolución inyectiva. Las resoluciones proyectivas (y, más generalmente, las resoluciones planas) se pueden utilizar para calcular functores Tor .

Resolución proyectiva de un módulo${\displaystyle M}$es único salvo una homotopía de cadena , es decir, dadas dos resoluciones proyectivas${\displaystyle P_{0}\to M}$y${\displaystyle P_{1}\to M}$de${\displaystyle M}$Existe una homotopía de cadena entre ellos.

Las resoluciones se utilizan para definir dimensiones homológicas . La longitud mínima de una resolución proyectiva finita de un módulo${\displaystyle M}$se denomina su dimensión proyectiva y se denota${\displaystyle {\text{P-}}\dim(M)}$. Por ejemplo, un módulo tiene dimensión proyectiva cero si y solo si es un módulo proyectivo. Si${\displaystyle M}$Si no admite una resolución proyectiva finita, entonces la dimensión proyectiva es infinita. Por ejemplo, para un anillo local conmutativo${\displaystyle R}$, la dimensión proyectiva es finita si y solo si${\displaystyle R}$es regular y en este caso coincide con la dimensión de Krull de${\displaystyle R}$. Análogamente, la dimensión inyectiva${\displaystyle {\text{I-}}\dim(M)}$y dimensión plana${\displaystyle {\text{F-}}\dim(M)}$También están definidos para los módulos.

Las dimensiones inyectiva y proyectiva se utilizan en la categoría de derecha${\displaystyle R}$-módulos para definir una dimensión homológica para${\displaystyle R}$llamada la dimensión global correcta de${\displaystyle R}$De manera similar, la dimensión plana se utiliza para definir la dimensión global débil . El comportamiento de estas dimensiones refleja las características del anillo. Por ejemplo, un anillo tiene dimensión global derecha 0 si y solo si es un anillo semisimple , y un anillo tiene dimensión global débil 0 si y solo si es un anillo regular de von Neumann .

Sea M un módulo graduado sobre un álgebra graduada , generado sobre un cuerpo por sus elementos de grado positivo. Entonces M tiene una resolución libre en la que los módulos libres E _i pueden estar graduados de tal manera que d _i y ε sean aplicaciones lineales graduadas . Entre estas resoluciones libres graduadas, las resoluciones libres mínimas son aquellas para las que el número de elementos base de cada E _i es mínimo. El número de elementos base de cada E _i y sus grados son los mismos para todas las resoluciones libres mínimas de un módulo graduado.

Si I es un ideal homogéneo en un anillo de polinomios sobre un cuerpo, la regularidad de Castelnuovo-Mumford del conjunto algebraico proyectivo definido por I es el entero mínimo r tal que los grados de los elementos de la base de E _i en una resolución libre mínima de I son todos menores que ri .

Un ejemplo clásico de resolución libre lo proporciona el complejo de Koszul de una sucesión regular en un anillo local o de una sucesión regular homogénea en un álgebra graduada finitamente generada sobre un cuerpo.

Sea X un espacio asférico , es decir, su cubierta universal E es contraíble . Entonces, todo complejo de cadena singular (o simplicial ) de E es una resolución libre del módulo Z no solo sobre el anillo Z sino también sobre el anillo de grupo Z [ π ₁ ( X )].

Una clase de ejemplos de categorías abelianas sin resoluciones proyectivas son las categorías${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$de haces coherentes en un esquema${\displaystyle X}$. Por ejemplo, si${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$es espacio proyectivo, cualquier haz coherente${\displaystyle {\mathcal {M}}}$en${\displaystyle X}$tiene una presentación dada por una secuencia exacta

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

Los dos primeros términos no son en general proyectivos ya que${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$para${\displaystyle s>0}$Sin embargo, ambos términos son localmente libres y localmente planos. Ambas clases de haces pueden utilizarse indistintamente para ciertos cálculos, reemplazando las resoluciones proyectivas para el cálculo de algunos functores derivados.