Topología de escoba entera

En topología general , una rama de las matemáticas , la topología de escoba entera es un ejemplo de una topología en el llamado espacio de escoba ^entera X. ^{[ 1} ] 

El espacio de escobas enteras X es un subconjunto del plano R ² . Supongamos que el plano está parametrizado por coordenadas polares . La escoba entera contiene el origen y los puntos ( n , θ ) ∈ R ² tales que n es un entero no negativo y θ ∈ {1/ k  : k ∈ Z ⁺ }, donde Z ⁺ es el conjunto de los enteros positivos. ^{[ 1 ]} La imagen de la derecha proporciona una ilustración para 0 ≤ n ≤ 5 y 1/15 ≤ θ ≤ 1 . Geométricamente, el espacio consiste en una colección de secuencias convergentes . Para un n fijo , tenemos una secuencia de puntos − que se encuentran en un círculo con centro (0, 0) y radio n − que converge al punto ( n , 0).

Definimos la topología en X mediante una topología de producto . El espacio de escobas enteras viene dado por las coordenadas polares.

${\displaystyle (n,\theta )\in \{n\in \mathbb {Z} :n\geq 0\}\times \{\theta =1/k:k\in \mathbb {Z} ^{+}\}\,.}$

Escribamos ( n , θ ) ∈ U × V para simplificar. La topología de escoba entera en X es la topología producto inducida al darle a U la topología de orden correcto y a V la topología de subespacio de R . ^{[ 1 ]}

El espacio de escobas enteras, junto con la topología de escobas enteras, es un espacio topológico compacto . Es un espacio T ₀ , pero no es ni un espacio T ₁ ni un espacio de Hausdorff . El espacio es conexo por caminos , pero no es conexo localmente ni conexo por arcos . ^{[ 2 ]}

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