Integrabilidad de la demanda

En la teoría microeconómica , el problema de la integrabilidad de las funciones de demanda se ocupa de recuperar una función de utilidad (es decir, las preferencias del consumidor) a partir de una función de demanda walrasiana dada . ^{[ 1 ]} El término "integrabilidad" proviene del hecho de que se puede demostrar que las funciones de demanda satisfacen un sistema de ecuaciones diferenciales parciales en los precios, y resolver (integrar) este sistema es un paso crucial para recuperar la función de utilidad subyacente que genera la demanda.

El problema fue considerado por Paul Samuelson en su libro Fundamentos del análisis económico , y en un artículo de 1950 dio las condiciones para su solución. ^{[ 2 ]} Posteriormente, Leonid Hurwicz y Hirofumi Uzawa dieron condiciones más generales para una solución . ^{[ 3 ]}

Dado el espacio de consumo${\displaystyle X}$y una función de demanda walrasiana conocida${\displaystyle x:\mathbb {R} _{++}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X}$La solución al problema de la integrabilidad de la demanda consiste en encontrar una función de utilidad.${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$de tal manera que

${\displaystyle x(p,w)=\operatorname {argmax} _{x\in X}\{u(x):p\cdot x\leq w\}}$

Es decir, se trata esencialmente de "invertir" el problema de maximización de la utilidad del consumidor .

Existen esencialmente dos pasos para resolver el problema de integrabilidad de una función de demanda. Primero, se recupera una función de gasto.${\displaystyle e(p,u)}$para el consumidor. Luego, con las propiedades de las funciones de gasto, se puede construir un conjunto al menos igual de bueno.

${\displaystyle V_{u}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u\}}$

lo cual equivale a encontrar una función de utilidad${\displaystyle u(x)}$.

Si la función de demanda${\displaystyle x(p,w)}$es homogénea de grado cero, satisface la Ley de Walras y tiene una matriz de sustitución semidefinida negativa.${\displaystyle S(p,w)}$Entonces es posible seguir esos pasos para encontrar una función de utilidad.${\displaystyle u(x)}$que genera demanda${\displaystyle x(p,w)}$. ^{[ 4 ]}

Prueba : si se cumplen las dos primeras condiciones (homogeneidad de grado cero y ley de Walras), entonces la dualidad entre el problema de minimización de gastos y el problema de maximización de utilidad nos dice que

${\displaystyle x(p,w)=h(p,v(p,w))}$

dónde${\displaystyle v(p,w)=u(x(p,w))}$es la función de utilidad indirecta de los consumidores y${\displaystyle h(p,u)}$es la función de demanda hicksiana de los consumidores . Fije un nivel de utilidad.${\displaystyle u_{0}=v(p,w)}$^{[ nb 1 ]} . Dellema de Shephard, y con la identidad anterior tenemos

donde omitimos el nivel de utilidad fijo${\displaystyle u_{0}}$para mayor brevedad. ( 1 ) es un sistema de EDP en el vector de precios${\displaystyle p}$y el teorema de Frobenius se puede utilizar para demostrar que si la matriz

${\displaystyle D_{p}x(p,w)+D_{w}x(p,w)x(p,w)}$

Si es simétrica, entonces tiene una solución. Nótese que la matriz anterior es simplemente la matriz de sustitución.${\displaystyle S(p,w)}$, que inicialmente asumimos que era simétrica. Por lo tanto, ( 1 ) tiene una solución, y es (al menos teóricamente) posible encontrar una función de gasto.${\displaystyle e(p)}$de tal manera que${\displaystyle p\cdot x(p,e(p))=e(p)}$.

Para el segundo paso, por definición,

${\displaystyle e(p)=e(p,u_{0})=\min\{p\cdot x:x\in V_{u_{0}}\}}$

dónde${\displaystyle V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u_{0}\}}$Por las propiedades de${\displaystyle e(p,u)}$, no es demasiado difícil demostrar ^{[ 4 ]} que${\displaystyle V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:p\cdot x\geq e(p,u_{0})\}}$Realizando algunas manipulaciones algebraicas con la desigualdad${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u_{0})}$, uno puede reconstruir${\displaystyle V_{u_{0}}}$en su forma original con${\displaystyle u(x)\geq u_{0}}$Si se hace eso, se habrá encontrado una función de utilidad.${\displaystyle u:X\rightarrow \mathbb {R} }$que genera demanda del consumidor${\displaystyle x(p,w)}$.