Sistema integrable

En matemáticas, la integrabilidad es una propiedad de ciertos sistemas dinámicos que, en términos generales, significa que las soluciones del sistema son lo suficientemente "simples" como para poder escribirse con exactitud (en principio). Más precisamente, si bien existen varias definiciones formales distintas, un sistema integrable puede considerarse un sistema dinámico con suficientes cantidades conservadas , o integrales primeras , de modo que su movimiento se limita a una subvariedad de dimensionalidad mucho menor que la de su espacio de fases . En este sentido, los sistemas integrables son lo opuesto a los sistemas caóticos , donde pequeños cambios en las condiciones iniciales generan grandes desviaciones en el comportamiento de las soluciones en el espacio de fases.

A menudo se hace referencia a tres características que caracterizan a los sistemas integrables: ^{[ 1 ]}

• la existencia de un conjunto máximo de cantidades conservadas (la propiedad definitoria habitual de la integrabilidad completa )
• la existencia de invariantes algebraicos , que tienen una base en la geometría algebraica (una propiedad conocida a veces como integrabilidad algebraica )
• la determinación explícita de soluciones en una forma funcional explícita (no es una propiedad intrínseca, sino algo a lo que a menudo se hace referencia como solubilidad ).

Los sistemas integrables pueden considerarse cualitativamente muy diferentes de los sistemas dinámicos más genéricos , que suelen ser sistemas caóticos . Estos últimos generalmente carecen de cantidades conservadas y son asintóticamente intratables, ya que una perturbación arbitrariamente pequeña en las condiciones iniciales puede provocar desviaciones arbitrariamente grandes en sus trayectorias durante un tiempo suficientemente prolongado.

Muchos sistemas estudiados en física son completamente integrables, en particular, en el sentido hamiltoniano ; el ejemplo clave son los osciladores armónicos multidimensionales. Otro ejemplo clásico es el movimiento planetario alrededor de uno o dos centros fijos (por ejemplo, el sol). Otros ejemplos elementales incluyen el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa (el trompo de Euler ) y el movimiento de un cuerpo rígido con simetría axial alrededor de un punto en su eje de simetría (el trompo de Lagrange ).

A finales de la década de 1960, se comprendió que en física existen sistemas completamente integrables con un número infinito de grados de libertad, como algunos modelos de ondas en aguas poco profundas ( ecuación de Korteweg-de Vries ), el efecto Kerr en fibras ópticas, descrito por la ecuación de Schrödinger no lineal , y ciertos sistemas integrables de muchos cuerpos, como la red de Toda . La teoría moderna de sistemas integrables resurgió con el descubrimiento numérico de los solitones por Martin Kruskal y Norman Zabusky en 1965, lo que condujo al método de la transformada de dispersión inversa en 1967.

En el caso especial de los sistemas hamiltonianos, si existen suficientes integrales primeras conmutativas de Poisson independientes para los parámetros de flujo que puedan servir como sistema de coordenadas en los conjuntos de nivel invariantes (las hojas de la foliación lagrangiana ), y si los flujos son completos y el conjunto de nivel de energía es compacto, esto implica el teorema de Liouville-Arnold ; es decir, la existencia de variables de acción-ángulo . Los sistemas dinámicos generales no tienen tales cantidades conservadas; en el caso de los sistemas hamiltonianos autónomos , la energía es generalmente la única, y en los conjuntos de nivel de energía, los flujos suelen ser caóticos.

Un ingrediente clave para caracterizar los sistemas integrables es el teorema de Frobenius , que establece que un sistema es integrable en el sentido de Frobenius ( es decir, está generado por una distribución integrable) si, localmente, posee una foliación formada por variedades integrales máximas. Sin embargo, la integrabilidad, en el sentido de los sistemas dinámicos , es una propiedad global, no local, ya que requiere que la foliación sea regular, con las hojas incrustadas en subvariedades.

La integrabilidad no implica necesariamente que las soluciones genéricas puedan expresarse explícitamente en términos de un conjunto conocido de funciones especiales ; es una propiedad intrínseca de la geometría y la topología del sistema, y ​​de la naturaleza de la dinámica.

En el contexto de los sistemas dinámicos diferenciables , la noción de integrabilidad se refiere a la existencia de foliaciones regulares e invariantes ; es decir, aquellas cuyas hojas son subvariedades incrustadas de la menor dimensión posible que son invariantes bajo el flujo . Existe, por lo tanto, una noción variable del grado de integrabilidad, que depende de la dimensión de las hojas de la foliación invariante. Este concepto se refina en el caso de los sistemas hamiltonianos , conocido como integrabilidad completa en el sentido de Liouville (véase más adelante), que es a lo que se hace referencia con mayor frecuencia en este contexto.

Una extensión de la noción de integrabilidad también es aplicable a sistemas discretos como las redes. Esta definición puede adaptarse para describir ecuaciones de evolución que sean sistemas de ecuaciones diferenciales o ecuaciones de diferencias finitas .

La distinción entre sistemas dinámicos integrables y no integrables tiene la implicación cualitativa de movimiento regular frente a movimiento caótico y, por lo tanto, es una propiedad intrínseca, no solo una cuestión de si un sistema puede integrarse explícitamente de forma exacta.

En el contexto particular de los sistemas hamiltonianos , tenemos la noción de integrabilidad en el sentido de Liouville . (Véase el teorema de Liouville-Arnold ). La integrabilidad de Liouville implica que existe una foliación regular del espacio de fases mediante variedades invariantes, de modo que los campos vectoriales hamiltonianos asociados a las invariantes de la foliación abarcan la distribución tangente. Dicho de otro modo, existe un conjunto máximo de invariantes de Poisson conmutativos funcionalmente independientes (es decir, funciones independientes en el espacio de fases cuyos corchetes de Poisson con el hamiltoniano del sistema, y ​​entre sí, se anulan).

En dimensiones finitas, si el espacio de fases es simpléctico (es decir, el centro del álgebra de Poisson consta solo de constantes), debe tener dimensión par.${\displaystyle 2n,}$y el número máximo de invariantes conmutativos de Poisson independientes (incluido el hamiltoniano mismo) es${\displaystyle n}$Las hojas de la foliación son totalmente isotrópicas con respecto a la forma simpléctica y dicha foliación isotrópica máxima se llama lagrangiana . Todos los sistemas hamiltonianos autónomos (es decir, aquellos para los que el hamiltoniano y los corchetes de Poisson no dependen explícitamente del tiempo) tienen al menos un invariante; a saber, el propio hamiltoniano, cuyo valor a lo largo del flujo es la energía. Si los conjuntos de niveles de energía son compactos, las hojas de la foliación lagrangiana son toros , y las coordenadas lineales naturales en estos se llaman variables de "ángulo". Los ciclos de la canónica${\displaystyle 1}$Las formas se denominan variables de acción, y las coordenadas canónicas resultantes se denominan variables de ángulo de acción (véase más abajo).

También existe una distinción entre integrabilidad completa , en el sentido de Liouville , e integrabilidad parcial, así como una noción de superintegrabilidad y superintegrabilidad máxima. En esencia, estas distinciones corresponden a las dimensiones de las hojas de la foliación. Cuando el número de invariantes independientes que conmutan según la distribución de Poisson es menor que el máximo (pero, en el caso de sistemas autónomos, mayor que uno), decimos que el sistema es parcialmente integrable. Cuando existen más invariantes funcionalmente independientes, más allá del número máximo que puede conmutar según la distribución de Poisson, y por lo tanto la dimensión de las hojas de la foliación invariante es menor que n, decimos que el sistema es superintegrable . Si existe una foliación regular con hojas (curvas) unidimensionales, se denomina superintegrable máxima.

Cuando un sistema hamiltoniano de dimensión finita es completamente integrable en el sentido de Liouville y los conjuntos de niveles de energía son compactos, los flujos son completos y las hojas de la foliación invariante son toros . Existen entonces, como se mencionó anteriormente, conjuntos especiales de coordenadas canónicas en el espacio de fases, conocidas como variables de acción-ángulo , tales que los toros invariantes son los conjuntos de niveles conjuntos de las variables de acción . Estos proporcionan así un conjunto completo de invariantes del flujo hamiltoniano (constantes de movimiento), y las variables angulares son las coordenadas periódicas naturales en los toros. El movimiento en los toros invariantes, expresado en términos de estas coordenadas canónicas, es lineal en las variables angulares.

En la teoría de transformaciones canónicas , existe el método de Hamilton - Jacobi , en el que se buscan soluciones a las ecuaciones de Hamilton hallando primero una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada . En terminología clásica, esto se describe como la determinación de una transformación a un conjunto canónico de coordenadas que consta de variables completamente ignorables; es decir, aquellas en las que no existe dependencia del hamiltoniano respecto de un conjunto completo de coordenadas de "posición" canónicas, y por lo tanto, los momentos canónicamente conjugados correspondientes son cantidades conservadas. En el caso de conjuntos compactos de niveles de energía, este es el primer paso para determinar las variables de acción-ángulo . En la teoría general de ecuaciones diferenciales parciales de tipo Hamilton - Jacobi , una solución completa (es decir, una que depende de n constantes de integración independientes, donde n es la dimensión del espacio de configuración) existe en casos muy generales, pero solo en el sentido local. Por lo tanto, la existencia de una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi no es en absoluto una caracterización de la integrabilidad completa en el sentido de Liouville. La mayoría de los casos que pueden integrarse explícitamente implican una separación completa de variables , en la que las constantes de separación proporcionan el conjunto completo de constantes de integración necesarias. Solo cuando estas constantes pueden reinterpretarse, dentro del espacio de fases completo, como los valores de un conjunto completo de funciones de Poisson conmutativas restringidas a las hojas de una foliación lagrangiana, el sistema puede considerarse completamente integrable en el sentido de Liouville.

El resurgimiento del interés por los sistemas integrables clásicos se produjo con el descubrimiento, a finales de la década de 1960, de que los solitones , que son soluciones localizadas y altamente estables de ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Korteweg-de Vries (que describe la dinámica de fluidos no disipativos unidimensionales en cuencas poco profundas), podían entenderse considerando estas ecuaciones como sistemas hamiltonianos integrables de dimensión infinita. Su estudio conduce a un enfoque muy fructífero para "integrar" tales sistemas, la transformada de dispersión inversa y métodos espectrales inversos más generales (a menudo reducibles a problemas de Riemann-Hilbert ), que generalizan métodos lineales locales como el análisis de Fourier a la linealización no local, mediante la solución de ecuaciones integrales asociadas.

La idea básica de este método consiste en introducir un operador lineal determinado por la posición en el espacio de fases, que evoluciona bajo la dinámica del sistema en cuestión de tal forma que su "espectro" (en un sentido suficientemente generalizado) permanece invariante durante la evolución (véase el par de Lax ). Esto proporciona, en ciertos casos, suficientes invariantes, o "integrales de movimiento", para que el sistema sea completamente integrable. En el caso de sistemas con un número infinito de grados de libertad, como la ecuación de KdV, esto no basta para precisar la propiedad de integrabilidad de Liouville. Sin embargo, para condiciones de contorno adecuadamente definidas, la transformación espectral puede interpretarse, de hecho, como una transformación a coordenadas completamente ignorables , en las que las cantidades conservadas forman la mitad de un conjunto doblemente infinito de coordenadas canónicas, y el flujo se linealiza en estas. En algunos casos, esto incluso puede considerarse una transformación a variables de acción-ángulo, aunque normalmente solo un número finito de las variables de "posición" son realmente coordenadas angulares, y el resto no son compactas.

Otro punto de vista que surgió en la teoría moderna de sistemas integrables se originó en un enfoque de cálculo desarrollado por Ryogo Hirota ^{[ 2 ]} , que consistía en reemplazar el sistema dinámico no lineal original con un sistema bilineal de ecuaciones de coeficientes constantes para una magnitud auxiliar, que más tarde se conocería como la función τ . Estas se denominan ahora ecuaciones de Hirota . Aunque inicialmente aparecieron solo como una herramienta de cálculo, sin ninguna relación clara con el enfoque de dispersión inversa o la estructura hamiltoniana, esto proporcionó un método muy directo a partir del cual se podían derivar clases importantes de soluciones, como los solitones .

Posteriormente, esto fue interpretado por Mikio Sato ^{[ 3 ]} y sus estudiantes, ^{[ 4 ] [ 5 ]} al principio para el caso de jerarquías integrables de EDP, como la jerarquía de Kadomtsev-Petviashvili , pero luego para clases mucho más generales de jerarquías integrables, como una especie de enfoque de espacio de fase universal , en el que, típicamente, la dinámica de conmutación se veía simplemente como determinada por una acción de grupo abeliano fija (finita o infinita) sobre una variedad de Grassmann (finita o infinita) . La función τ se veía como el determinante de un operador de proyección de elementos de la órbita del grupo a algún origen dentro de la Grassmanniana, y las ecuaciones de Hirota como la expresión de las relaciones de Plücker , que caracterizan la incrustación de Plücker de la Grassmanniana en la proyectividad de un espacio exterior (infinito) adecuadamente definido , visto como un espacio de Fock fermiónico .

Dejar${\displaystyle \phi }$Sea una aplicación birracional que actúa sobre un espacio proyectivo considerado sobre un campo finito.${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}(\mathbb {F} _{q})}$Se dice que es diofántica integrable si para cualquier punto racional${\displaystyle P}$, la altura de las iteraciones${\displaystyle h(\phi ^{n}(P))}$no crece más rápido que polinómicamente en${\displaystyle n}$. ^{[ 8 ]}

También existe el concepto de sistemas cuánticos integrables.

En el contexto cuántico, las funciones en el espacio de fases deben reemplazarse por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert , y la noción de funciones conmutativas de Poisson debe reemplazarse por operadores conmutativos. La noción de leyes de conservación debe especializarse a leyes de conservación locales . ^{[ 9 ]} Todo hamiltoniano tiene un conjunto infinito de cantidades conservadas dadas por proyectores a sus autoestados de energía . Sin embargo, esto no implica ninguna estructura dinámica especial.

Para explicar la integrabilidad cuántica, es útil considerar el modelo de partículas libres. En este caso, toda la dinámica es reducible a un cuerpo. Se dice que un sistema cuántico es integrable si su dinámica es reducible a dos cuerpos. La ecuación de Yang-Baxter es una consecuencia de esta reducibilidad y conduce a identidades de traza que proporcionan un conjunto infinito de cantidades conservadas. Todas estas ideas se incorporan al método de dispersión inversa cuántica, donde el ansatz algebraico de Bethe puede utilizarse para obtener soluciones explícitas. Ejemplos de modelos cuánticos integrables son el modelo de Lieb-Liniger , el modelo de Hubbard y varias variaciones del modelo de Heisenberg . ^{[ 10 ]} Se conocen otros tipos de integrabilidad cuántica en problemas cuánticos explícitamente dependientes del tiempo, como el modelo de Tavis-Cummings impulsado. ^{[ 11 ]}

En física, los sistemas completamente integrables, especialmente en el contexto de dimensión infinita, suelen denominarse modelos exactamente solubles. Esto confunde la distinción entre la integrabilidad, en el sentido hamiltoniano, y el sentido más general de los sistemas dinámicos.

En mecánica estadística también existen modelos con solución exacta, más relacionados con sistemas cuánticos integrables que con sistemas clásicos. Dos métodos estrechamente relacionados —el método de Bethe , en su concepción moderna, basado en las ecuaciones de Yang-Baxter , y el método de dispersión inversa cuántica— proporcionan análogos cuánticos de los métodos espectrales inversos. Estos métodos son igualmente importantes en el estudio de modelos con solución exacta en mecánica estadística.

También se utiliza a veces una noción imprecisa de "solubilidad exacta" como sinónimo de "las soluciones pueden expresarse explícitamente en términos de funciones previamente conocidas", como si se tratara de una propiedad intrínseca del sistema en sí, en lugar de la característica puramente computacional de que disponemos de funciones "conocidas" en términos de las cuales se pueden expresar las soluciones. Esta noción carece de significado intrínseco, ya que lo que se entiende por funciones "conocidas" se define con frecuencia precisamente por el hecho de que satisfacen ciertas ecuaciones dadas, y la lista de dichas funciones "conocidas" crece constantemente. Si bien esta caracterización de la "integrabilidad" carece de validez intrínseca, a menudo implica el tipo de regularidad que cabe esperar en los sistemas integrables.

• Sistema de enganche

• Arnold, VI (1997). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2.ª  ed.). Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Audin, M. (1996). Trompos: Un curso sobre sistemas integrables . Estudios avanzados de matemáticas de Cambridge. Vol.  51. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-77919-7.
• Babelon, O.; Bernard, D.; Talon, M. (2003). Introducción a los sistemas integrables clásicos . Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511535024 . ISBN 0-521-82267-X.
• Baxter, RJ (1982). Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística . Academic Press. ISBN 978-0-12-083180-7.
• Dunajski, M. (2009). Solitones, instantones y twistores . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-857063-9.
• Faddeev, LD ; Takhtajan, LA (1987). Métodos hamiltonianos en la teoría de solitones . Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
• Fomenko, AT (1995). Geometría simpléctica. Métodos y aplicaciones (2.ª  ed.). Gordon and Breach. ISBN 978-2-88124-901-3.
• Fomenko, AT ; Bolsinov, AV (2003). Sistemas hamiltonianos integrables: geometría, topología, clasificación . Taylor and Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2.ª  ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Harnad, J.; Winternitz , P.; Sabidussi , G. , eds. (2000). Sistemas integrables: De lo clásico a lo cuántico . American Mathematical Society . ISBN 0-8218-2093-1.
• Harnad, J.; Balogh, F. (2021). Funciones tau y sus aplicaciones . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781108610902 . ISBN 978-1-108-49268-3. S2CID 222379146 . 
• Hietarinta, J.; Joshi, N .; Nijhoff, F. (2016). Sistemas discretos e integrabilidad . Cambridge University Press . Bibcode : 2016dsi..book.....H . doi : 10.1017/CBO9781107337411 . ISBN 978-1-107-04272-8.
• Korepin, VE ; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (1997). Método de dispersión inversa cuántica y funciones de correlación . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-58646-7.
• Afrajmovich, VS ; Arnoldo, VI ; Il'yashenko, Yu. S. ; Shil'nikov, LP (1989). Sistemas Dinámicos V. Saltador. ISBN 3-540-18173-3.
• Mussardo, Giuseppe (2010). Teoría estadística de campos. Una introducción a los modelos resueltos exactamente de la física estadística . Oxford University Press . ISBN 978-0-19-954758-6.
• Sardanashvily, G. (2015). Manual de sistemas hamiltonianos integrables . URSS. ISBN 978-5-396-00687-4.

• Beilinson, A. ; Drinfeld, V. "Cuantización del sistema integrable de Hitchin y de los autohaces de Hecke" (PDF) .
• Donagi, R.; Markman, E. (1996). «Recubrimientos espectrales, sistemas hamiltonianos algebraicamente completamente integrables y módulos de haces». Sistemas integrables y grupos cuánticos . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1620. Springer. pp. 1–119 . doi : 10.1007/BFb0094792 . ISBN  978-3-540-60542-3.
• Sonnad, Kiran G.; Cary, John R. (2004). "Finding a nonlinear lattice with improved integrability using Lie transform perturbation theory". Physical Review E . 69 (5) 056501. Bibcode : 2004PhRvE..69e6501S . doi : 10.1103/PhysRevE.69.056501 . PMID 15244955 . 

• "Sistema integrable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "SIDE - Simetrías e integrabilidad de ecuaciones en diferencias" , una conferencia dedicada al estudio de ecuaciones en diferencias integrables y temas relacionados. ^{[ 13 ]}