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Matriz entera

En matemáticas , una matriz de enteros es una matriz cuyos elementos son todos enteros . Algunos ejemplos son las matrices binarias , la matriz cero , la matriz de unos , la mat...

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En matemáticas , una matriz de enteros es una matriz cuyos elementos son todos enteros . Algunos ejemplos son las matrices binarias , la matriz cero , la matriz de unos , la matriz identidad y las matrices de adyacencia utilizadas en la teoría de grafos , entre muchas otras. Las matrices de enteros se utilizan frecuentemente en combinatoria .

Ejemplos

(526047385904310−39021){\displaystyle \left({\begin{array}{cccr}5&2&6&0\\4&7&3&8\\5&9&0&4\\3&1&0&\!\!\!-3\\9&0&2&1\end{array}}\right)}  y  (150092173){\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&5&0\\0&9&2\\1&7&3\end{array}}\right)}

son ambos ejemplos de matrices de enteros.

Propiedades

La invertibilidad de las matrices enteras es, en general, numéricamente más estable que la de las matrices no enteras. El determinante de una matriz enteraMETRO{\displaystyle M}es en sí mismo un número entero, y la matriz adjugada de una matriz entera también es una matriz entera. Por lo tanto, el determinante de una matriz entera invertible es1{\displaystyle 1}o−1{\displaystyle -1}y, por lo tanto, cuando existen inversas, estas no se vuelven excesivamente grandes (véase el número de condición ). Los teoremas de la teoría de matrices que infieren propiedades a partir de determinantes evitan así las trampas que producen las matrices reales o de punto flotante mal condicionadas ( con determinante casi nulo) .

La inversa de una matriz enteraMETRO{\displaystyle M}es nuevamente una matriz entera si y solo si el determinante deMETRO{\displaystyle M}igual1{\displaystyle 1}o−1{\displaystyle -1}. [ 1 ] Matrices enteras de determinante1{\displaystyle 1}formar el grupoSLnorte(Z){\displaystyle \mathrm {SL} _ {n}(\mathbf {Z} )}, que tiene aplicaciones de gran alcance en aritmética y geometría . Paranorte=2{\displaystyle n=2}, está estrechamente relacionado con el grupo modular .

La intersección de las matrices enteras con el grupo ortogonal es el grupo de matrices de permutación con signo .

El polinomio característico de una matriz de enteros tiene coeficientes enteros. Dado que los autovalores de una matriz son las raíces de este polinomio, los autovalores de una matriz de enteros son enteros algebraicos . En dimensiones menores que 5 , pueden expresarse mediante radicales que involucran enteros.

A las matrices de enteros a veces se las llama matrices integrales , aunque este uso no es recomendable.

Véase también

  • Matriz de enteros en MathWorld

Referencias

  1. ↑ Hanson, Robert (1982). "Matrices de enteros cuyas inversas contienen solo enteros" . The Two-Year College Mathematics Journal . 13 (1): 18– 21. doi : 10.2307/3026530 . ISSN 0049-4925 . JSTOR 3026530 .  
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