Factor integrante

En matemáticas , un factor integrante es una función que se elige para facilitar la resolución de una ecuación diferencial . Se usa comúnmente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias no exactas , pero también en cálculo multivariable, donde al multiplicar por un factor integrante se transforma una diferencial inexacta en una diferencial exacta (que luego se puede integrar para obtener un campo escalar ). Esto es especialmente útil en termodinámica, donde la temperatura se convierte en el factor integrante que transforma la entropía en una diferencial exacta.

Usar

Un factor integrante es cualquier expresión por la que se multiplica una ecuación diferencial para facilitar la integración. Por ejemplo, la ecuación no lineal de segundo orden.

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}

admite ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ como factor integrador:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.

Para integrar, tenga en cuenta que ambos lados de la ecuación pueden expresarse como derivadas aplicando la regla de la cadena hacia atrás :

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).

Por lo tanto,

\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.

dónde $C_{0}$ es una constante.

Este formulario puede ser más útil, dependiendo de la aplicación. Realizar una separación de variables dará como resultado

\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t

Esta es una solución implícita que implica una integral no elemental . Este mismo método se utiliza para calcular el período de un péndulo simple .

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden

Los factores integrantes son útiles para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden expresarse en la forma

y'+P(x)y=Q(x)

La idea básica es encontrar alguna función, por ejemplo $M(x)$ , llamado "factor integrante", que podemos multiplicar por nuestra ecuación diferencial para llevar el lado izquierdo a una derivada común. Para la ecuación diferencial lineal canónica de primer orden mostrada arriba, el factor integrante es $e^{\int P(x)\,dx}$ .

Tenga en cuenta que no es necesario incluir la constante arbitraria en la integral, o valores absolutos en caso de que la integral de $P(x)$ implica un logaritmo. En primer lugar, solo necesitamos un factor integrante para resolver la ecuación, no todos los posibles; en segundo lugar, dichas constantes y valores absolutos se cancelarán incluso si se incluyen. Para valores absolutos, esto se puede ver escribiendo $|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)$ , dónde $\operatorname {sgn}$ se refiere a la función signo , que será constante en un intervalo si $f(x)$ es continuo. Como $\ln |f(x)|$ no está definido cuando $f(x)=0$ y un logaritmo en la antiderivada solo aparece cuando la función original involucraba un logaritmo o un recíproco (ninguno de los cuales está definido para 0), dicho intervalo será el intervalo de validez de nuestra solución.

Para derivar esto, sea $M(x)$ sea el factor integrante de una ecuación diferencial lineal de primer orden tal que la multiplicación por $M(x)$ transforma una expresión no integrable en una derivada integrable, entonces:

$M(x){\underset {\text{expresión no integrable}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
$M(x)y'+M(x)P(x)y$
$\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{derivada integrable}}$

Para pasar del paso 2 al paso 3 se requiere que $M(x)P(x)=M'(x)$ , que es una ecuación diferencial separable , cuya solución produce $M(x)$ en términos de $P(x)$ :

$M(x)P(x)=M'(x)$
$P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
$\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
$M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

Para verificar, multiplicando por $M(x)$ da

M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)

Aplicando la regla del producto a la inversa, vemos que el lado izquierdo se puede expresar como una sola derivada en $x$

M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)

Usamos este hecho para simplificar nuestra expresión a

{\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)

Integrar ambas partes con respecto a $x$

Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx

e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C

dónde $C$ es una constante.

Al pasar la exponencial al lado derecho, la solución general de la ecuación diferencial ordinaria es:

y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}

En el caso de una ecuación diferencial homogénea , $Q(x)=0$ y la solución general de la ecuación diferencial ordinaria es:

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

.

Por ejemplo, consideremos la ecuación diferencial

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

Podemos ver que en este caso $P(x)={\frac {-2}{x}}$

M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}

M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}

M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.

Multiplicando ambos lados por $M(x)$ obtenemos

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

La ecuación anterior se puede reescribir como

{\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0

Integrando ambos lados con respecto a x obtenemos

x^{-2}y=C

o

y=Cx^{2}

El mismo resultado puede lograrse utilizando el siguiente enfoque.

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

{\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0

{\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0

{\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.

Invertir la regla del cociente da como resultado

\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0

o

{\frac {y}{x^{2}}}=C,

o

y=Cx^{2}.

dónde $C$ es una constante.

Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden

El método de factores integrantes para ecuaciones de primer orden puede extenderse naturalmente también a ecuaciones de segundo orden. El objetivo principal al resolver ecuaciones de primer orden era encontrar un factor integrante. $M(x)$ de tal manera que multiplicar $y'+p(x)y=h(x)$ por ello produciría $(M(x)y)'=M(x)h(x)$ , después de lo cual la posterior integración y división por $M(x)$ produciría $y$ . Para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, si queremos $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ para funcionar como factor integrador, entonces

(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)

Esto implica que una ecuación de segundo orden debe tener exactamente la forma $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ para que el factor integrante sea utilizable.

Ejemplo 1

Por ejemplo, la ecuación diferencial

y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0

se puede resolver exactamente con factores integrantes. El apropiado $p(x)$ se puede deducir examinando el $y'$ término. En este caso, $2p(x)=2x$ , entonces $p(x)=x$ . Después de examinar el $y$ a largo plazo, vemos que de hecho tenemos $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$ , por lo tanto, multiplicaremos todos los términos por el factor integrante. $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ Esto nos da

e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0

que se puede reorganizar para dar

\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0

Integrando dos veces se obtiene

e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}

Dividiendo por el factor integrante se obtiene:

y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}

Ejemplo 2

Una aplicación algo menos obvia de los factores integrantes de segundo orden implica la siguiente ecuación diferencial:

y''+2\cot(x)y'-y=1

A primera vista, esto claramente no tiene la forma necesaria para los factores integrantes de segundo orden. Tenemos un $2p(x)$ término delante de $y'$ pero no $p(x)^{2}+p'(x)$ delante de $y$ . Sin embargo,

p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)

y de la identidad pitagórica que relaciona la cotangente y la cosecante,

\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1

así que en realidad tenemos el término requerido delante de $y$ y pueden utilizar factores de integración.

e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)

Multiplicando cada término por $\sin(x)$ da

\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

que reordenado es

(\sin(x)y)''=\sin(x)

Integrar dos veces da

\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}

Finalmente, dividiendo por el factor integrante se obtiene

y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1

Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Los factores integrantes se pueden extender a cualquier orden, aunque la forma de la ecuación necesaria para aplicarlos se vuelve cada vez más específica a medida que aumenta el orden, lo que los hace menos útiles para órdenes 3 y superiores. La idea general es diferenciar la función $M(x)y$ $n$ tiempos para un $n$ ecuación diferencial de orden y combinar términos semejantes. Esto dará como resultado una ecuación en la forma

M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)

Si un $n$ La ecuación de orden n coincide con la forma $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ que se obtiene después de diferenciar $n$ veces, se pueden multiplicar todos los términos por el factor integrante e integrar $h(x)M(x)$ $n$ veces, dividiendo por el factor integrante en ambos lados para obtener el resultado final.