Integral de funciones inversas

Primero, bajo la hipótesis adicional de que${\displaystyle f^{-1}}$es diferenciable , se puede diferenciar la fórmula anterior, lo que completa la demostración inmediatamente.

Su segunda demostración fue geométrica. Si${\displaystyle f(a)=c}$y${\displaystyle f(b)=d}$, el teorema se puede escribir:

${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.}$

La figura de la derecha es una demostración sin palabras de esta fórmula. Laisant no discute las hipótesis necesarias para que esta demostración sea rigurosa, pero esto se puede probar si${\displaystyle f}$Se supone simplemente que es estrictamente monótono (pero no necesariamente continuo, y mucho menos diferenciable). En este caso, ambos${\displaystyle f}$y${\displaystyle f^{-1}}$son integrables de Riemann y la identidad se deduce de una biyección entre sumas de Darboux inferiores/superiores de${\displaystyle f}$y sumas de Darboux superior/inferior de${\displaystyle f^{-1}}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]} La versión antiderivada del teorema se deduce entonces del teorema fundamental del cálculo en el caso en que${\displaystyle f}$También se supone que es continua.

La tercera prueba de Laisant utiliza la hipótesis adicional de que${\displaystyle f}$es diferenciable. Comenzando con${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$, uno multiplica por${\displaystyle f'(x)}$y integra ambos lados. El lado derecho se calcula mediante integración por partes para ser${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$y la fórmula es la siguiente.

También se puede pensar de la siguiente manera cuando${\displaystyle f}$es diferenciable. Como${\displaystyle f}$es continuo en cualquier${\displaystyle x}$,${\textstyle F:=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$es diferenciable en absoluto${\displaystyle x}$por el teorema fundamental del cálculo. Dado que${\displaystyle f}$es invertible, su derivada se desvanecería en como máximo una cantidad numerable de puntos. Ordene estos puntos por${\displaystyle ...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...}$. Desde${\displaystyle g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C}$es una composición de funciones diferenciables en cada intervalo${\displaystyle (t_{i},t_{i+1})}$Se podría aplicar la regla de la cadena. ${\displaystyle g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)}$ver${\displaystyle \left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$es un antiderivado para${\displaystyle \left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}}$Afirmamos${\displaystyle g}$también es diferenciable en cada uno de${\displaystyle t_{i}}$y no se extiende sin límites si${\displaystyle I_{2}}$es compacto. En tal caso${\displaystyle f^{-1}}$es continua y acotada. Por continuidad y el teorema fundamental del cálculo,${\textstyle G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}(t)\,dt}$dónde${\displaystyle C}$es una constante, es una extensión diferenciable de${\displaystyle g}$. Pero${\displaystyle g}$es continua ya que es la composición de funciones continuas. Así también lo es.${\displaystyle G}$por diferenciabilidad. Por lo tanto,${\displaystyle G=g}$Ahora se puede utilizar el teorema fundamental del cálculo para calcular${\textstyle \int _{I_{2}}f^{-1}(t)\,dt}$.

Sin embargo, se puede demostrar que este teorema se cumple incluso si${\displaystyle f}$o${\displaystyle f^{-1}}$no es diferenciable: ^{[ 3 ] [ 4 ]} basta, por ejemplo, con usar la integral de Stieltjes en el argumento anterior. Por otro lado, aunque las funciones monótonas generales son diferenciables casi en todas partes, la demostración de la fórmula general no se deduce, a menos que${\displaystyle f^{-1}}$es absolutamente continuo . ^{[ 4 ]}

También es posible comprobar que para cada${\displaystyle y}$en${\displaystyle I_{2}}$, la derivada de la función${\displaystyle y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))}$es igual a${\displaystyle f^{-1}(y)}$. En otras palabras:

${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$

Para ello, basta con aplicar el teorema del valor medio a${\displaystyle F}$entre${\displaystyle x}$y${\displaystyle x+h}$, teniendo en cuenta que${\displaystyle f}$es monótono.