Integración mediante derivadas paramétricas

Por ejemplo, supongamos que queremos hallar la integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}\,dx.}$

Dado que se trata del producto de dos funciones que son fáciles de integrar por separado, la integración repetida por partes es sin duda una forma de evaluarlo. Sin embargo, también podemos evaluarlo comenzando con una integral más simple y un parámetro adicional, que en este caso es t  =  3:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx=\left[{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right]_{0}^{\infty }=\left(\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{-tx}}{-t}}\right)-\left({\frac {e^{-t0}}{-t}}\right)\\&=0-\left({\frac {1}{-t}}\right)={\frac {1}{t}}.\end{aligned}}}$

Esto converge solo para t  >  0, lo cual es cierto para la integral deseada. Ahora que sabemos

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx={\frac {1}{t}},}$

Podemos derivar ambos lados dos veces con respecto a t (no x ) para agregar el factor de x ² en la integral original.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-tx}\,dx={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {1}{t}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{dt}}\left(-xe^{-tx}\right)\,dx={\frac {d}{dt}}\left(-{\frac {1}{t^{2}}}\right)\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-tx}\,dx={\frac {2}{t^{3}}}.\end{aligned}}}$

Esta es la misma forma que la integral deseada, donde t  =  3. Sustituyendo eso en la ecuación anterior se obtiene el valor:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-3x}\,dx={\frac {2}{3^{3}}}={\frac {2}{27}}.}$

Comenzando con la integral${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}t}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}}$Al derivar con respecto a t en ambos lados se obtiene ${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}t}dx={\frac {d}{dt}}{\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {t}}}\\&-\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}t}=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}t^{-{\frac {3}{2}}}\\&\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-x^{2}t}={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}t^{-{\frac {3}{2}}}\end{aligned}}}$En general , al tomar la n -ésima derivada con respecto a t obtenemos ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-x^{2}t}={\frac {(2n-1)!!{\sqrt {\pi }}}{2^{n}}}t^{-{\frac {2n+1}{2}}}}$.

Utilizando el método clásico${\displaystyle \int x^{t}dx={\frac {x^{t+1}}{t+1}}}$y tomando la derivada con respecto a t obtenemos ${\displaystyle \int \ln(x)x^{t}={\frac {\ln(x)x^{t+1}}{t+1}}-{\frac {x^{t+1}}{(t+1)^{2}}}}$.

El método también se puede aplicar a sumas, como se ejemplifica a continuación. Utilice la factorización de Weierstrass de la función sinh : ${\displaystyle {\frac {\sinh(z)}{z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {\pi ^{2}n^{2}+z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$. Toma el logaritmo : ${\displaystyle \ln(\sinh(z))-\ln(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left({\frac {\pi ^{2}n^{2}+z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}$. Derivar con respecto a z : ${\displaystyle \coth(z)-{\frac {1}{z}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2z}{z^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}}$. Dejar${\displaystyle w={\frac {z}{\pi }}}$: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\coth(\pi w)}{\pi w}}-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{z^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+w^{2}}}}$.