Curva de intensidad-duración-frecuencia

Existe un gran número de enfoques empíricos que relacionan la intensidad ( I ), la duración ( t ) y el período de retorno ( p ), a partir de ajustes a leyes de potencia tales como:

• La fórmula de Sherman, ^{[ 8 ]} con tres parámetros ( a , c y n ), que son función del período de retorno, p : 

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}}$

• La fórmula de Chow, ^{[ 9 ]} también con tres parámetros ( a , c y n ), para un período de retorno particular p :

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}}$

• Ley de potencia según Aparicio (1997), ^{[ 10 ]} con cuatro parámetros ( a , c , m y n ), ya ajustada para todos los períodos de retorno de interés:

${\displaystyle I(t,p)=a\cdot {\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}}$

En hidrometeorología , la ley de potencia simple (tomando${\displaystyle \ c=0}$) se utiliza como medida de la estructura temporal de la precipitación: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}}}=I_{o}\left({\frac {t_{o}}{t}}\right)^{n}}$

dónde${\displaystyle \ I_{o}}$se define como una intensidad de referencia para un tiempo fijo${\displaystyle \ t_{o}}$, es decir${\displaystyle \ a=I_{o}t_{o}^{n}}$, y${\displaystyle \ n}$es un parámetro adimensional conocido como índice n . ^{[ 2 ] [ 3 ]} En un evento de lluvia, el equivalente a la curva IDF se llama curva de Intensidad Media Máxima (MAI). ^{[ 11 ]}

Para obtener curvas IDF a partir de una distribución de probabilidad ,${\displaystyle \ F(x)}$Es necesario aislar matemáticamente la cantidad total o profundidad del evento.${\displaystyle \ x}$, que está directamente relacionada con la intensidad media${\displaystyle \ I}$ y la duración${\displaystyle \ t}$, por la ecuación${\displaystyle \ x=Eso}$y dado que el período de retorno${\displaystyle p}$se define como el inverso de${\displaystyle \ 1-F(x)}$, la función${\displaystyle \ f(p)}$se encuentra como el inverso de${\displaystyle \ F(x)}$, de acuerdo a:

${\displaystyle It=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(It)}}}$

• Ley de potencias con período de retorno, derivada de la distribución de Pareto , para una duración fija.${\displaystyle \ t}$:

${\displaystyle \ I(p)=kp^{m}\quad \Leftarrow \quad F(It)=1-\left({\frac {kt}{It}}\right)^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}}$

donde la constante de distribución de Pareto se ha redefinido como${\displaystyle \ k'=kt}$, dado que es una distribución válida para una duración específica del evento, se ha tomado como${\displaystyle \ x=Eso}$.

• Función derivada de la distribución de Pareto generalizada , para una duración determinada.${\displaystyle \ t}$:

${\displaystyle I(p)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{m}}\cdot (p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{si }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{si }}m=0.\end{cases}}}$

Tenga en cuenta que para${\displaystyle \ m>0}$y${\displaystyle \ \mu ={\frac {\sigma }{m}}}$, la distribución de Pareto generalizada recupera la forma simple de la distribución de Pareto, con${\displaystyle \ k'={\frac {\sigma }{m}}}$Sin embargo, con${\displaystyle \ m=0}$Se recupera la distribución exponencial .

• Función deducida de la distribución de Gumbel y la distribución de Gumbel opuesta , para una duración dada${\displaystyle \ t}$:

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln(\ln p)\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$