Teorema de la intersección

El teorema de la intersección , también conocido como teorema de Tales , teorema de proporcionalidad básica o teorema de la división de lados , es un teorema importante en geometría elemental sobre las razones de varios segmentos de línea que se crean cuando dos rayos con un punto de partida común son interceptados por un par de paralelas . Es equivalente al teorema sobre las razones en triángulos semejantes . Tradicionalmente se le atribuye al matemático griego Tales . Era conocido por los antiguos babilonios y egipcios , aunque su primera demostración conocida aparece en los Elementos de Euclides . Un dispositivo mecánico que produce figuras geométricamente semejantes se conoce como pantógrafo .

Supongamos que S es el punto de partida común de dos rayos, y que dos líneas paralelas intersecan esos dos rayos (véase la figura). Sean A y B las intersecciones del primer rayo con las dos paralelas, de modo que B está más lejos de S que A, y de forma similar, sean C y D las intersecciones del segundo rayo con las dos paralelas, de modo que D está más lejos de S que C. En esta configuración se cumplen las siguientes afirmaciones: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. La razón entre cualesquiera dos segmentos en el primer rayo es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en el segundo rayo: ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$,${\displaystyle {\frac {|SB|}{|AB|}}={\frac {|SD|}{|CD|}}}$,${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}}$
2. La razón entre los dos segmentos en el mismo rayo que parte de S es igual a la razón entre los segmentos en los paralelos: ${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$
3. La recíproca de la primera afirmación también es cierta, es decir, si los dos rayos son interceptados por dos líneas arbitrarias y${\displaystyle {\frac {|SA|}{|AB|}}={\frac {|SC|}{|CD|}}}$Si se cumple la condición, entonces las dos líneas que se cruzan son paralelas. Sin embargo, la recíproca de la segunda afirmación no es cierta (véase el gráfico para un contraejemplo).

Las dos primeras afirmaciones siguen siendo ciertas si los dos rayos se reemplazan por dos líneas que se intersecan en${\displaystyle S}$. En este caso hay dos escenarios con respecto a${\displaystyle S}$, o bien se encuentra entre los 2 paralelos (figura X) o no (figura V). Si${\displaystyle S}$Si no se encuentra entre los dos paralelos, el teorema original se aplica directamente. ${\displaystyle S}$se encuentra entre los dos paralelos, luego un reflejo de${\displaystyle A}$y${\displaystyle C}$en${\displaystyle S}$produce una figura V con medidas idénticas para las cuales ahora se aplica el teorema original. ^{[ 2 ]}

Sin embargo, la tercera afirmación (la recíproca) no sigue siendo cierta para líneas en lugar de rayos. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Sin embargo, si se reemplaza la razón de longitudes con razones con signo de segmentos de línea dirigidos , todas las afirmaciones del teorema de la intersección, incluida la recíproca, siguen siendo válidas también para líneas. Más precisamente si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son dos puntos en una línea y${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$Si dos puntos están en la misma línea o en una línea paralela, entonces la razón con signo${\textstyle {\frac {AB}{CD}}}$es${\textstyle {\frac {|AB|}{|CD|}}}$si la dirección de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$es lo mismo que la dirección desde${\displaystyle C}$a${\displaystyle D,}$y es${\estilo de texto -{\frac {|AB|}{|CD|}}}$de lo contrario. ^{[ 3 ]}

Si hay más de dos rayos que parten de${\displaystyle S}$o más de dos líneas que se cruzan en${\displaystyle S}$, entonces cada paralelo contiene más de un segmento de línea y la razón entre dos segmentos de línea en un paralelo es igual a la razón entre los segmentos de línea correspondientes en el otro paralelo. Por ejemplo, si hay un tercer rayo que comienza en${\displaystyle S}$y que intersecan los paralelos en${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$, de tal manera que ${\displaystyle F}$está más lejos de ${\displaystyle S}$que${\displaystyle E}$, entonces se cumplen las siguientes igualdades: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {|AE|}{|BF|}}={\frac {|EC|}{|FD|}}}$,${\displaystyle {\frac {|AE|}{|EC|}}={\frac {|BF|}{|FD|}}}$

Para la segunda ecuación también se cumple lo contrario, es decir, si los 3 rayos son interceptados por dos líneas y las razones de los segmentos de línea correspondientes en cada línea son iguales, entonces esas 2 líneas deben ser paralelas. ^{[ 4 ]}

El teorema se atribuye tradicionalmente al matemático griego Tales de Mileto , quien pudo haber utilizado alguna forma del teorema para determinar las alturas de las pirámides en Egipto y para calcular la distancia de un barco a la costa. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

Una demostración elemental del teorema utiliza triángulos de igual área para derivar las afirmaciones básicas sobre las razones (afirmación 1). Las demás afirmaciones se derivan aplicando la primera afirmación y llegando a una contradicción. ^{[ 1 ]}

• French, Doug (2004). Enseñanza y aprendizaje de la geometría . Bloomsbury. págs. 84–87 . ISBN  9780826473622.( Copia en línea , pág. 84, en Google Libros )
• Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. págs. 10–13 , 16–18 . ISBN  0-8218-4347-8.( Copia en línea , pág. 10, en Google Libros )
• Stillwell, John (2005). Los cuatro pilares de la geometría . Springer. pág . 34. ISBN  978-0-387-25530-9.( Copia en línea , pág. 34, en Google Libros )
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). Geometría a través de su historia . Springer. pp. 3–7 . ISBN  978-3-642-29163-0.( Copia en línea , pág. 3, en Google Libros )
• Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli: Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. Springer 2016, ISBN 9783662530344, págs.  191–208 (alemán)

• Teorema de la intersección en PlanetMath
• Alexander Bogomolny: Los teoremas de Tales y, en particular, el teorema de Tales en el nudo de la guerra.
• teorema de la intersección interactivo