Ley de intercambio

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , la ley de intercambio (o ley de intercambio ^{[ 1 ]} ) se refiere a la relación entre composiciones verticales y horizontales de transformaciones naturales .

Dejar${\textstyle \mathbf {F,\,G,\,H}$ :\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {D} } y${\textstyle \mathbf {{\bar {F}},\,{\bar {G}},\,{\bar {H}}}$ :\mathbb {D} \longrightarrow \mathbb {E} } donde${\textstyle \mathbf {F,\,G,\,H,\,{\bar {F}},\,{\bar {G}},\,{\bar {H}}} }$son functores y${\textstyle \mathbb {C} ,\,\mathbb {D} ,\,\mathbb {E} }$son categorías. Además, deje que${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}:\mathbf {F\longrightarrow G} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}:\mathbf {G\longrightarrow H} }$mientras${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\alpha }}}:\mathbf {{\bar {F}}\longrightarrow {\bar {G}}} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\beta }}}:\mathbf {{\bar {G}}\longrightarrow {\bar {H}}} }$dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},\,{\boldsymbol {\bar {\alpha }}},\,{\boldsymbol {\bar {\beta }}}}$son transformaciones naturales. Para simplificar y para los fines de este artículo, dejemos que${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\alpha }}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\beta }}}}$ser las transformaciones naturales "secundarias" y${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$las transformaciones naturales "primarias". Dado lo mencionado anteriormente, tenemos la ley de intercambio, que dice que la composición horizontal (${\displaystyle \circ }$) de la composición vertical primaria (${\displaystyle \bullet }$) y la composición vertical secundaria (${\displaystyle \bullet }$) es igual a la composición vertical (${\displaystyle \bullet }$) de cada composición horizontal secundaria posterior a la primaria (${\displaystyle \circ }$); en resumen,${\textstyle ({\bar {\boldsymbol {\beta }}}\ \bullet \ {\bar {\boldsymbol {\alpha }}})\circ \ ({\boldsymbol {\beta }}\ \bullet \ {\boldsymbol {\alpha }})\ =({\bar {\boldsymbol {\beta }}}\ \circ \ {\boldsymbol {\beta }})\ \bullet \ ({\bar {\boldsymbol {\alpha }}}\ \circ \ {\boldsymbol {\alpha }})}$. ^{[ 2 ]} También aparece en categorías monoidales donde la composición clásica (${\displaystyle \circ }$) y el producto tensorial (${\displaystyle \otimes }$) toman sus lugares en lugar de la composición horizontal y la asociación de composición vertical y se denota${\displaystyle (g\circ f)\otimes (j\circ h)=(g\otimes j)\circ (f\otimes h)}$. ^{[ 3 ]}

El término «intercambio» surge de la observación de que las composiciones y transformaciones naturales de un lado se invierten o «intercambian» en comparación con el otro. Esta relación completa se puede ilustrar en el siguiente diagrama.

Si aplicamos este contexto a las categorías de funtores y observamos transformaciones naturales${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}:\mathbf {F\longrightarrow G} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}:\mathbf {G\longrightarrow H} }$dentro de una categoría${\displaystyle V}$y${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\alpha }}}:\mathbf {{\bar {F}}\longrightarrow {\bar {G}}} }$y${\displaystyle {\boldsymbol {\bar {\beta }}}:\mathbf {{\bar {G}}\longrightarrow {\bar {H}}} }$dentro de una categoría${\displaystyle W}$, podemos imaginar un functor${\displaystyle \Gamma :V\longrightarrow W}$, de tal manera que

Las transformaciones naturales se representan de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\alpha }})\longrightarrow {\boldsymbol {\bar {\alpha }}},\,}$
• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\beta }})\longrightarrow {\boldsymbol {\bar {\beta }}},\,}$
• y${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\beta }}\ \bullet \ {\boldsymbol {\alpha }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\bar {\beta }}}\ \bullet \ {\boldsymbol {\bar {\alpha }}})}$;

Los functores también se asignan en consecuencia:

• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\mathbf {F} }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\mathbf {\bar {F}} }}),\,}$
• ${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\mathbf {G} }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\mathbf {\bar {G}} }}),\,}$
• y${\displaystyle \Gamma ({\boldsymbol {\mathbf {H} }})\longrightarrow ({\boldsymbol {\mathbf {\bar {H}} }})}$.

• Dejar${\displaystyle \sigma '\circ \sigma }$sea ​​el producto matricial de matrices${\displaystyle \sigma ',\sigma }$y${\displaystyle \tau \cdot \sigma }$la matriz dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\tau &\,\\\,&\sigma \end{bmatrix}}}$. Entonces la pareja${\displaystyle \circ ,\cdot }$satisface la ley de intercambio. ^{[ 2 ]}

• Dejar${\displaystyle G}$ser grupos topológicos y bucles for${\displaystyle \alpha ,\beta }$en${\displaystyle G}$, dejar${\displaystyle \beta \circ \alpha }$sea ​​la concatenación de dos bucles y${\displaystyle \beta \cdot \alpha }$el producto punto por punto; es decir,${\displaystyle (\beta \cdot \alpha )(t)=\beta (t)\alpha (t)}$Entonces, la ley de intercambio se aplica a${\displaystyle \circ ,\cdot }$. ^{[ 4 ]}

El argumento de Eckmann-Hilton afirma el siguiente hecho sorprendente:${\displaystyle S}$Sea un conjunto y supongamos que es un monoide de dos maneras: hay dos operaciones binarias.${\displaystyle *,\cdot }$. Si las dos identidades${\displaystyle e_{\cdot }=e_{*}}$son lo mismo y si la ley de intercambio se mantiene para${\displaystyle *,\cdot }$, entonces${\displaystyle \cdot =*}$y la operación común es conmutativa. ^{[ 5 ]}

• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas (2.ª  ed.). Nueva York: Springer Science+Business Media. pág.  43. ISBN 978-1-4419-3123-8.