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Articulo de referencia

Teorema del extremo interior

La gráfica de una función diferenciable tiene rectas tangentes al mínimo y al máximo. El teorema del extremo interior garantiza que estas rectas siempre serán horizontales. En c...

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La gráfica de una función diferenciable tiene rectas tangentes al mínimo y al máximo. El teorema del extremo interior garantiza que estas rectas siempre serán horizontales.

En cálculo y análisis real , el teorema del extremo interior establece que cualquier extremo local de una función real en el que esta sea diferenciable es un punto estacionario . También se conoce como teorema de Fermat , en honor al matemático francés Pierre de Fermat .

El teorema del extremo interior proporciona una condición necesaria , pero no suficiente, para los extremos locales en los que la función es diferenciable, ya que algunos puntos estacionarios no son extremos locales.

La segunda derivada , si es distinta de cero, puede utilizarse para determinar si un extremo local en el que la función es dos veces diferenciable es un máximo o un mínimo. Sin embargo, la segunda derivada puede ser cero en los extremos locales.

Historia

Pierre de Fermat propuso en una colección de tratados titulada Maxima et minima un método para hallar el máximo o el mínimo, similar al teorema moderno del extremo interior, utilizando un enfoque que denominó adequality . [ 1 ] : 456–457 [ 2 ] : 2 [ 3 ] Después de que Marin Mersenne le pasara los tratados a René Descartes , este se mostró escéptico, comentando: «Si [...] dice que quiere enviarte más papeles, te ruego que le pidas que los elabore con más detenimiento que los anteriores». [ 2 ] : 3 Más tarde, Descartes aceptó que el método era válido. [ 2 ] : 8

Declaración

Una forma de enunciar el teorema del extremo interior es que, si una función tiene un extremo local en algún punto y es diferenciable en ese punto, entonces la derivada de la función en ese punto debe ser cero. En lenguaje matemático preciso:

DejarF:(a,b)→R{\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }sea ​​una función de un intervalo abierto(a,b){\displaystyle (a,b)}a​​R{\displaystyle \mathbb {R} }⁠ , y supongamos queincógnita0∈(a,b){\displaystyle x_{0}\in (a,b)}es un punto dondeF{\displaystyle f}tiene un extremo local. SiF{\displaystyle f}es diferenciable enincógnita0{\displaystyle x_{0}}, entoncesF′(incógnita0)=0{\displaystyle f'(x_{0})=0}. [ 4 ] : 377

Otra forma de entender el teorema es mediante la proposición contrapositiva : si la derivada de una función en cualquier punto no es cero, entonces no hay un extremo local en ese punto. Formalmente:

SiF{\displaystyle f}es diferenciable enincógnita0∈(a,b){\displaystyle x_{0}\in (a,b)}, yF′(incógnita0)≠0{\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}, entoncesincógnita0{\displaystyle x_{0}}no es un extremo local deF{\displaystyle f}.

Corolario

Cada extremo global de una función f en un dominio A ocurre solo en el límite de A , en puntos no diferenciables o en puntos estacionarios.incógnita0{\displaystyle x_{0}}es un extremo global de f , entonces se cumple una de las siguientes condiciones: [ 2 ] : 1

  • límite:incógnita0{\displaystyle x_{0}}está en el límite de A
  • no diferenciable: f no es diferenciable enincógnita0{\displaystyle x_{0}}
  • punto estacionario:F′(incógnita0)=0{\displaystyle f'(x_{0})=0}

La funciónF(incógnita)=incógnita3{\displaystyle f(x)=x^{3}}No tiene extremos. La funciónF(incógnita)=incógnita3−incógnita{\displaystyle f(x)=x^{3}-x}No tiene extremos globales, aunque sí tiene extremos locales.

Extensión

Una afirmación similar es válida para las derivadas parciales de funciones multivariables . Supongamos que alguna función de valor real de los números realesF=F(t1,t2,…,tk){\displaystyle f=f(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{k})}tiene un extremo en un puntodo{\displaystyle C}, definido pordo=(a1,a2,…,ak){\displaystyle C=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})}. SiF{\displaystyle f}es diferenciable endo{\displaystyle C}, entonces:∂∂tiF(do)=0{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t_{i}}}f(C)=0}para cadai=1,2,…,k{\displaystyle i=1,2,\ldots ,k}. [ 5 ] : 16

La afirmación también puede extenderse a variedades diferenciables . SiF:METRO→R{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }es una función diferenciable en una variedadMETRO{\displaystyle M}, entonces sus extremos locales deben ser puntos críticos deF{\displaystyle f}, en particular puntos donde la derivada exteriordF{\displaystyle df}es cero. [ 6 ]

Aplicaciones

El teorema del extremo interior es fundamental para determinar los máximos y mínimos de funciones diferenciables a trozos de una variable: un extremo es un punto estacionario (es decir, un cero de la derivada), un punto no diferenciable (es decir, un punto donde la función no es diferenciable ) o un punto frontera del dominio de la función . Dado que el número de estos puntos suele ser finito, el cálculo de los valores de la función en estos puntos proporciona el máximo y el mínimo, simplemente comparando los valores obtenidos. [ 7 ] : 25 [ 2 ] : 1

Prueba

Supongamos queincógnita0{\displaystyle x_{0}}es un máximo local. (Un argumento similar se aplica siincógnita0{\displaystyle x_{0}}es un mínimo local.) Luego hay algún vecindario alrededorincógnita0{\displaystyle x_{0}}de tal manera queF(incógnita0)≥F(incógnita){\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}a pesar deincógnita{\displaystyle x}dentro de ese vecindario. Siincógnita>incógnita0{\displaystyle x>x_{0}}, entonces el cociente de diferenciasF(incógnita)−F(incógnita0)incógnita−incógnita0{\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}no es positivo paraincógnita{\displaystyle x}en este vecindario. Esto implica límiteincógnita→incógnita0+F(incógnita)−F(incógnita0)incógnita−incógnita0≤0.{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\leq 0.} De manera similar, siincógnita<incógnita0{\displaystyle x<x_{0}}, entonces el cociente de diferencias es no negativo, y por lo tanto límiteincógnita→incógnita0−F(incógnita)−F(incógnita0)incógnita−incógnita0≥0.{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\geq 0.} DesdeF{\displaystyle f}es diferenciable, los límites anteriores deben ser ambos igualesF′(incógnita0){\displaystyle f'(x_{0})}Esto solo es posible si ambos límites son iguales a 0, por lo tantoF′(incógnita0)=0{\displaystyle f'(x_{0})=0}. [ 8 ] : 182

Véase también

Referencias

  1. ↑ Fikhtengol'ts, GM (1965). Los fundamentos del análisis matemático . Pergamon Press . doi : 10.1016/C2013-0-02242-6 . ISBN 978-0-08-013473-4.
  2. 1 2 3 4 5 Monks, Kenneth M (20 de febrero de 2023). "Método de Fermat para encontrar máximos y mínimos" (PDF) . Convergencia MAA .
  3. ↑ Breger, Herbert (2013). "Análisis de Fermat de valores extremos y tangentes" . Studia Leibnitiana . 45 (1): 20– 41. ISSN 0039-3185 . 
  4. ↑ Bronshtein, IN; Semendyayev, KA (1972). A Guide Book to Mathematics . Springer. doi : 10.1007/978-1-4684-6288-3 . ISBN 978-1-4684-6290-6.
  5. ↑ Bhattacharya, Bhargab B. (2009). Algoritmos, arquitecturas y seguridad de los sistemas de información . World Scientific . ISBN 978-981-283-624-3.
  6. ↑ "¿Es cierto el teorema de Fermat sobre extremos locales para variedades diferenciables?" . Stack Exchange . 11 de agosto de 2015 . Consultado el 21 de abril de 2017 .
  7. ↑ Brinkhuis, Jan; Tikhomirov, Vladimir (2005). Optimización: Perspectivas y aplicaciones . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-10287-0.
  8. ↑ Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015). Análisis matemático I (2.ª ed.). Springer. doi : 10.1007/978-3-319-12772-9 . ISBN  978-3-319-12771-2.
  • "Teorema de Fermat (puntos estacionarios)" . PlanetMath .
  • "Demostración del teorema de Fermat (puntos estacionarios)" . PlanetMath .