Teorema de Darboux (análisis)

En análisis real , el teorema de Darboux establece que la derivada de cualquier función de valor real de una variable real tiene la propiedad de valor intermedio , es decir, que la imagen de un intervalo también es un intervalo.

Cuando${\displaystyle f}$es continuamente diferenciable , esto es una consecuencia del teorema del valor intermedio . Pero incluso cuando${\displaystyle f'}$no es continuo, el teorema de Darboux impone una restricción al comportamiento de${\displaystyle f'}$sobre cualquier intervalo cerrado.

Dejar${\displaystyle I}$Sea un intervalo abierto , y sea${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$Sea una función diferenciable de valor real . Entonces${\displaystyle f'}$tiene la propiedad de valor intermedio : Si${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son puntos en${\displaystyle I}$con${\displaystyle a<b}$, entonces para cada${\displaystyle y}$entre${\displaystyle f'(a)}$y${\displaystyle f'(b)}$, existe un${\displaystyle x}$en${\displaystyle [a,b]}$de tal manera que${\displaystyle f'(x)=y}$. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

La prueba original de Jean Gaston Darboux se publicó en 1875. ^{[ 4 ]}

Una función de Darboux es una función de valor real.${\displaystyle f}$que tiene la "propiedad de valor intermedio": para cualesquiera dos valores${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en el dominio de${\displaystyle f}$y cualquier${\displaystyle y}$entre${\displaystyle f(a)}$y${\displaystyle f(b)}$, hay algunos${\displaystyle c}$entre${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$con${\displaystyle y=f(c)}$. ^{[ 5 ]} Por el teorema del valor intermedio , toda función continua en un intervalo real es una función de Darboux. La contribución de Darboux fue demostrar que existen funciones de Darboux discontinuas.

Cada discontinuidad de una función de Darboux es esencial , es decir, en cualquier punto de discontinuidad, al menos uno de los límites izquierdo y derecho no existe.

Un ejemplo de una función de Darboux que es discontinua en un punto es la función de curva sinusoidal del topólogo :

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

Según el teorema de Darboux, la derivada de cualquier función diferenciable es una función de Darboux. En particular, la derivada de la función${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$es una función de Darboux aunque no sea continua en un punto.

Un ejemplo de una función de Darboux que no es continua en ningún punto es la función de base 13 de Conway . Otro ejemplo es la función de Bergfeldt, donde un número real x se escribe expandido en binario con dígitos.${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {Z} _{+}}}$cada uno 0 o 1, y${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{x_{k}}}{k}}}$si la serie converge para ese x y 0 si no lo hace. ^{[ 6 ]}

Las funciones de Darboux constituyen una clase de funciones bastante general. Resulta que cualquier función real ƒ en la recta real puede escribirse como la suma de dos funciones de Darboux. ^{[ 7 ]} Esto implica, en particular, que la clase de funciones de Darboux no es cerrada bajo la suma.

Una función fuertemente de Darboux es aquella para la cual la imagen de cada intervalo abierto (no vacío) es toda la recta real. ^{[ 5 ]}

El teorema de Darboux da una condición necesaria para que una función sea una derivada, pero no es suficiente. Toda derivada de una función real es también de clase de Baire uno , y el conjunto de puntos en los que una derivada es discontinua es un conjunto reducido.${\displaystyle F_{\sigma }}$conjunto . Por el contrario, cada escaso${\displaystyle F_{\sigma }}$Un subconjunto de la recta real puede aparecer como el conjunto de discontinuidad de una derivada. ^{[ 8 ]}

Una restricción más precisa se aplica a los conjuntos de subniveles de una derivada. Para una función real${\displaystyle f}$, sus conjuntos de supernivel y subnivel asociados son${\displaystyle \{x:f(x)>a\}}$y${\displaystyle \{x:f(x)<a\}}$, dónde${\displaystyle a}$es real. Zahorski introdujo clases${\displaystyle M_{0},\ldots ,M_{5}}$de conjuntos que describen cuán grandes deben ser dichos conjuntos asociados cerca de sus propios puntos. En esta terminología, se tienen los siguientes teoremas:

• Cada derivada finita tiene conjuntos asociados en${\displaystyle M_{3}}$.
• Cada derivada acotada tiene conjuntos asociados en${\displaystyle M_{4}}$. Además, un conjunto es un conjunto asociado de alguna derivada acotada si y solo si pertenece a${\displaystyle M_{4}}$. ^{[ 9 ]}

Intuitivamente, si${\displaystyle f=F'}$y${\displaystyle f(x_{0})>a}$, entonces el conjunto en el que${\displaystyle f>a}$no puede ser arbitrariamente escaso cerca${\displaystyle x_{0}}$. Si${\displaystyle f}$es continuo en${\displaystyle x_{0}}$, esto es trivial:${\displaystyle f>a}$en algún barrio de${\displaystyle x_{0}}$, por lo que la densidad local es${\displaystyle 1}$Las condiciones de Zahorski expresan requisitos de densidad más débiles que siguen siendo válidos incluso cuando la derivada es discontinua.

Más explícitamente, un no vacío${\displaystyle F_{\sigma }}$colocar${\displaystyle E}$pertenece a${\displaystyle M_{3}}$si, por cada${\displaystyle x\in E}$cualquier secuencia de intervalos cerrados${\displaystyle I_{n}}$no contiene${\displaystyle x}$, con${\displaystyle \operatorname {dist} (x,I_{n})\to 0}$y${\displaystyle \lambda (I_{n}\cap E)=0}$, satisface

${\displaystyle {\frac {\lambda (I_{n})}{\operatorname {dist} (x,I_{n})}}\to 0,}$

dónde${\displaystyle \lambda }$denota la medida de Lebesgue . Por lo tanto, cerca de un punto de${\displaystyle E}$, lagunas en${\displaystyle E}$no pueden tener una longitud comparable a su distancia del punto. La clase${\displaystyle M_{4}}$es más fuerte:${\displaystyle E}$pertenece a${\displaystyle M_{4}}$si se puede escribir como una unión numerable de conjuntos cerrados${\displaystyle E=\bigcup K_{n}}$de tal manera que, en cada${\displaystyle K_{n}}$, el conjunto${\displaystyle E}$ocupa una proporción uniformemente positiva de cada intervalo unilateral suficientemente pequeño cuya longitud es comparable con su distancia al punto. En este sentido,${\displaystyle M_{3}}$descarta grandes agujeros cercanos, mientras que${\displaystyle M_{4}}$impone una condición uniforme positiva de menor densidad.

• Este artículo incorpora material del teorema de Darboux en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• "Teorema de Darboux" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]