Categoría monoide

En matemáticas, una categoría monoidal (o categoría tensorial ) es una categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$equipado con un bifunctor

${\displaystyle \otimes$ :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }

que es asociativo salvo un isomorfismo natural , y un objeto I que es a la vez una identidad izquierda y derecha para ⊗, también salvo un isomorfismo natural. Los isomorfismos naturales asociados están sujetos a ciertas condiciones de coherencia , que aseguran que todos los diagramas relevantes conmutan .

El producto tensorial ordinario convierte espacios vectoriales , grupos abelianos , R -módulos o R -álgebras en categorías monoidales. Las categorías monoidales pueden considerarse una generalización de estos y otros ejemplos. Toda categoría monoidal ( pequeña ) también puede verse como una " categorización " de un monoide subyacente , concretamente el monoide cuyos elementos son las clases de isomorfismo de los objetos de la categoría y cuya operación binaria viene dada por el producto tensorial de la categoría.

Una aplicación bastante diferente, para la cual las categorías monoidales pueden considerarse una abstracción, es un sistema de tipos de datos cerrado bajo un constructor de tipos que toma dos tipos y construye un tipo agregado. Los tipos sirven como objetos, y ⊗ es el constructor agregado. La asociatividad hasta el isomorfismo es entonces una forma de expresar que diferentes formas de agregar los mismos datos, como${\displaystyle ((a,b),c)}$y${\displaystyle (a,(b,c))}$—almacena la misma información aunque los valores agregados no tengan por qué ser iguales. El tipo de agregado puede ser análogo a la operación de suma ( tipo suma ) o de multiplicación ( tipo producto ). Para el tipo producto, el objeto identidad es la unidad.${\displaystyle ()}$, por lo que solo hay un habitante del tipo, y por eso un producto con él siempre es isomorfo al otro operando. Para el tipo suma, el objeto identidad es el tipo vacío , que no almacena información, y es imposible acceder a un habitante. El concepto de categoría monoide no presupone que los valores de tales tipos agregados puedan separarse; por el contrario, proporciona un marco que unifica la teoría de la información clásica y cuántica . ^{[ 1 ]}

En la teoría de categorías , las categorías monoidales se pueden usar para definir el concepto de objeto monoide y una acción asociada sobre los objetos de la categoría. También se utilizan en la definición de una categoría enriquecida .

Las categorías monoidales tienen numerosas aplicaciones fuera de la teoría de categorías propiamente dicha. Se utilizan para definir modelos para el fragmento multiplicativo de la lógica lineal intuicionista . También constituyen el fundamento matemático del orden topológico en la física de la materia condensada . Las categorías monoidales trenzadas tienen aplicaciones en información cuántica , teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas .

Una categoría monoidal es una categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$Equipado con una estructura monoide. Una estructura monoide consta de lo siguiente:

• un bifunctor${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$llamado producto monoideo , ^{[ 2 ]} o producto tensorial ,
• un objeto${\displaystyle I}$llamada unidad monoide , ^{[ 2 ]} objeto unitario u objeto identidad ,
• tres isomorfismos naturales sujetos a ciertas condiciones de coherencia que expresan el hecho de que la operación tensorial:
  • es asociativo: hay un natural (en cada uno de los tres argumentos)${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$) isomorfismo${\displaystyle \alpha }$, llamado el asociador , con componentes${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$,
  • tiene${\displaystyle I}$como identidad izquierda y derecha: existen dos isomorfismos naturales${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \rho }$, denominados respectivamente unitor izquierdo y unitor derecho , con componentes${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$y${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$.

Tenga en cuenta que una buena manera de recordar cómo${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \rho }$el acto es por aliteración; Lambda ,${\displaystyle \lambda }$, cancela la identidad de la izquierda , mientras que Rho ,${\displaystyle \rho }$, cancela la identidad de la derecha .

Las condiciones de coherencia para estas transformaciones naturales son:

• a pesar de${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$en${\displaystyle \mathbf {C} }$, el diagrama del pentágono

desplazamientos diarios ;

• a pesar de${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$en${\displaystyle \mathbf {C} }$, el diagrama triangular

desplazamientos diarios.

Una categoría monoidal estricta es aquella para la cual los isomorfismos naturales α , λ y ρ son identidades. Toda categoría monoidal es monoidalmente equivalente a una categoría monoidal estricta.

• Cualquier categoría con productos finitos puede considerarse monoidal, donde el producto es el producto monoidal y el objeto terminal es la unidad. Dicha categoría a veces se denomina categoría monoidal cartesiana . Por ejemplo:
  • Conjunto , la categoría de conjuntos cuyo producto cartesiano consiste en cualquier conjunto particular de un solo elemento que sirve como unidad.
  • Gato , la categoría de categorías pequeñas con la categoría de producto , donde la categoría con un objeto y solo su mapa de identidad es la unidad.
• De manera dual, cualquier categoría con coproductos finitos es monoidal, donde el coproducto es el producto monoidal y el objeto inicial es la unidad. Dicha categoría monoidal se denomina monoidal cocartesiana.
• R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , es una categoría monoidal donde el producto tensorial de módulos ⊗ _R sirve como producto monoidal y el anillo R (considerado como un módulo sobre sí mismo) sirve como unidad. Como casos especiales se tiene:
  • K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo K , donde el espacio vectorial unidimensional K sirve como unidad.Por extensión, K -FdVect (la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita ) se incluye dentro de esta.
  • Ab , la categoría de grupos abelianos , con el grupo de los enteros Z como unidad.
• Para cualquier anillo conmutativo R , la categoría de R -álgebras es monoidal, con el producto tensorial de álgebras como producto y R como unidad.
• La categoría de espacios puntiagudos (restringida a espacios generados de forma compacta, por ejemplo) es monoidal, con el producto smash como producto y la 0-esfera puntiaguda (un espacio discreto de dos puntos) como unidad.
• La categoría de todos los endofuntores en una categoría C es una categoría monoidal estricta con la composición de funtores como producto y el funtor identidad como unidad.
• Así como para cualquier categoría E la subcategoría completa generada por cualquier objeto dado es un monoide, sucede que para cualquier 2-categoría E y cualquier objeto C en Ob( E ), la 2-subcategoría completa de E generada por { C } es una categoría monoidal. En el caso E = Cat , obtenemos el ejemplo de endofuntores mencionado anteriormente.
• Los semirretículos de intersección acotados superiormente son categorías monoidales estrictamente simétricas : el producto es la intersección y la identidad es el elemento superior.
• Cualquier monoide ordinario${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$es una pequeña categoría monoidal con conjunto de objetos${\displaystyle M}$, solo identidades para morfismos ,${\displaystyle \cdot }$como producto tensorial y${\displaystyle 1}$como su objeto identidad. Recíprocamente, el conjunto de clases de isomorfismo (si tal cosa tiene sentido) de una categoría monoidal es un monoide con respecto al producto tensorial.
• Cualquier monoide conmutativo${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$puede realizarse como una categoría monoidal con un solo objeto. Recordemos que una categoría con un solo objeto es lo mismo que un monoide ordinario. Mediante un argumento de Eckmann-Hilton , añadiendo otro producto monoidal en${\displaystyle M}$requiere que el producto sea conmutativo.

De las tres condiciones de coherencia definitorias se deduce que una gran clase de diagramas (es decir, diagramas cuyos morfismos se construyen utilizando${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \lambda }$,${\displaystyle \rho }$, identidades y producto tensorial) conmutan: este es el " teorema de coherencia " de Mac Lane . A veces se afirma erróneamente que todos esos diagramas conmutan.

Existe una noción general de objeto monoide en una categoría monoide, que generaliza la noción ordinaria de monoide del álgebra abstracta . Los monoides ordinarios son precisamente los objetos monoides en la categoría monoide cartesiana Set . Además, cualquier categoría monoide estricta (pequeña) puede considerarse un objeto monoide en la categoría de categorías Cat (equipada con la estructura monoide inducida por el producto cartesiano).

Los functores monoidales son los functores entre categorías monoidales que preservan el producto tensorial, y las transformaciones naturales monoidales son las transformaciones naturales, entre esos functores, que son "compatibles" con el producto tensorial.

Cada categoría monoidal puede verse como la categoría B (∗, ∗) de una bicategoría B con un solo objeto, denotado ∗.

El concepto de una categoría C enriquecida en una categoría monoidal M reemplaza la noción de un conjunto de morfismos entre pares de objetos en C con la noción de un M -objeto de morfismos entre cada dos objetos en C.

• Si, en una categoría monoide,${\displaystyle A\otimes B}$y${\displaystyle B\otimes A}$Si son isomorfas de forma natural de manera compatible con las condiciones de coherencia, hablamos de una categoría monoidal trenzada . Si, además, este isomorfismo natural es su propio inverso, tenemos una categoría monoidal simétrica .
• Una categoría monoidal cerrada es una categoría monoidal donde el functor${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$tiene un adjunto derecho , que se denomina "functor Hom interno".${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _ {\mathbf {C} }(A,X)}$Algunos ejemplos incluyen categorías cartesianas cerradas como Set , la categoría de conjuntos, y categorías compactas cerradas como FdVect , la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita.
• Las categorías autónomas (o categorías cerradas compactas o categorías rígidas ) son categorías monoidales en las que existen duales con buenas propiedades; abstraen la idea de FdVect .
• Categorías monoidales simétricas de daga , equipadas con un functor de daga adicional, que abstraen la idea de FdHilb , espacios de Hilbert de dimensión finita. Estas incluyen las categorías compactas de daga .
• Las categorías de Tannakian son categorías monoidales enriquecidas sobre un cuerpo, que son muy similares a las categorías de representación de grupos algebraicos lineales .

• Esqueleto (teoría de categorías)
• Categoría esférica
• Acción de categoría monoide

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