Teorema de intersección

En geometría proyectiva , un teorema de intersección o de incidencia es una afirmación relativa a una estructura de incidencia —compuesta por puntos, líneas y, posiblemente, objetos de dimensiones superiores y sus incidencias— junto con un par de objetos A y B (por ejemplo, un punto y una línea). El teorema establece que, siempre que un conjunto de objetos satisfaga las incidencias ( es decir, que pueda identificarse con los objetos de la estructura de incidencia de tal manera que se conserve la incidencia), entonces los objetos A y B también deben ser incidentes. Un teorema de intersección no es necesariamente cierto en todas las geometrías proyectivas; es una propiedad que algunas geometrías satisfacen, pero otras no.

Por ejemplo, el teorema de Desargues se puede enunciar utilizando la siguiente estructura de incidencia:

• Agujas:${\displaystyle \{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}}$
• Pauta:${\displaystyle \{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}}$
• Incidentes (además de los obvios como${\displaystyle (A,AB)}$):${\displaystyle \{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}}$

La implicación es entonces${\displaystyle (R,PQ)}$—que el punto R es incidente con la línea PQ .

El teorema de Desargues se cumple en un plano proyectivo P si y solo si P es el plano proyectivo sobre algún anillo de división ( cuerpo sesgado) D.${\displaystyle P=\mathbb {P} _{2}D}$El plano proyectivo se denomina entonces desarguesiano . Un teorema de Amitsur y Bergman establece que, en el contexto de los planos proyectivos desarguesianos, para cada teorema de intersección existe una identidad racional tal que el plano P satisface el teorema de intersección si y solo si el anillo de división D satisface la identidad racional.

• El teorema del hexágono de Pappus se cumple en un plano proyectivo desarguesiano.${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$si y solo si D es un cuerpo ; corresponde a la identidad${\displaystyle \forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a}$.
• El axioma de Fano (que establece que cierta intersección no ocurre) se cumple en${\displaystyle \mathbb {P} _{2}D}$si y solo si D tiene característica${\displaystyle \neq 2}$; corresponde a la identidad a + a = 0 .

• Rowen, Louis Halle, ed. (1980). Identidades polinomiales en la teoría de anillos . Matemáticas puras y aplicadas. Vol.  84. Academic Press. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6032-5 . ISBN 9780125998505.
• Amitsur, SA (1966). "Identidades racionales y aplicaciones al álgebra y la geometría" . Journal of Algebra . 3 (3): 304– 359. doi : 10.1016/0021-8693(66)90004-4 .