teoría de la intersección

Un mecanismo eficaz para la intersección de ciclos algebraicos V y W requiere más que simplemente considerar la intersección conjuntista V ∩ W de los ciclos en cuestión. Si los dos ciclos se encuentran en una "buena posición", el producto de la intersección , denotado V · W , debe consistir en la intersección conjuntista de las dos subvariedades. Sin embargo, los ciclos pueden estar en una mala posición, por ejemplo, dos líneas paralelas en el plano, o un plano que contiene una línea (que se interseca en el espacio tridimensional). En ambos casos, la intersección debe ser un punto, ya que, de nuevo, si se mueve un ciclo, este sería la intersección. La intersección de dos ciclos V y W se denomina propia si la codimensión de la intersección (conjuntista) V ∩ W es la suma de las codimensiones de V y W , respectivamente, es decir, el valor "esperado".

Por lo tanto, se utiliza el concepto de ciclos móviles mediante relaciones de equivalencia apropiadas en ciclos algebraicos . La equivalencia debe ser lo suficientemente amplia como para que, dados dos ciclos cualesquiera V y W , existan ciclos equivalentes V′ y W′ tales que la intersección V′ ∩ W′ sea propia. Por supuesto, por otro lado, para un segundo par equivalente V′′ y W′′ , V′ ∩ W′ debe ser equivalente a V′′ ∩ W′′ .

Para los fines de la teoría de la intersección, la equivalencia racional es la más importante. En resumen, dos ciclos r -dimensionales en una variedad X son racionalmente equivalentes si existe una función racional f en una subvariedad ( r + 1) -dimensional Y , es decir, un elemento del cuerpo de funciones k ( Y ) o, equivalentemente , una función f : Y → P1 ^, tal que V − W = f⁻¹ ( ⁰ ) − f⁻¹ (∞) , donde ^f⁻¹ (⋅) se cuenta con multiplicidades. ^La equivalencia racional satisface las necesidades esbozadas anteriormente. 

El principio rector en la definición de multiplicidades de intersección ^de ciclos es la continuidad en cierto sentido. Consideremos el siguiente ejemplo elemental: la intersección de una parábola y = x² y un eje y = 0 debería ser 2 · (0, 0) , porque si uno de los ciclos se mueve (aunque en un sentido indefinido), existen precisamente dos puntos de intersección que convergen a (0, 0) cuando los ciclos se aproximan a la posición representada. (La imagen es engañosa, ya que la intersección aparentemente vacía de la parábola y la recta y = −3 está vacía, porque solo se representan las soluciones reales de las ecuaciones).

La primera definición completamente satisfactoria de multiplicidades de intersección fue dada por Serre : Sea la variedad ambiente X lisa (o todos los anillos locales regulares ). Además, sean V y W dos subvariedades (cerradas reducidas irreducibles), tales que su intersección es propia. La construcción es local, por lo tanto las variedades pueden representarse mediante dos ideales I y J en el anillo de coordenadas de X. Sea Z un componente irreducible de la intersección conjuntista V ∩ W y z su punto genérico . La multiplicidad de Z en el producto de intersección V · W se define por

${\displaystyle \mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{longitud}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J),}$

la suma alternada sobre la longitud sobre el anillo local de X en z de los grupos de torsión de los anillos factoriales correspondientes a las subvariedades. Esta expresión a veces se denomina fórmula Tor de Serre .

Observaciones:

• El primer sumando, la longitud de

  ${\displaystyle \left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}}$

  es la suposición "ingenua" de la multiplicidad; sin embargo, como muestra Serre, no es suficiente.

• La suma es finita, porque el anillo local regular${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,z}}$tiene dimensión Tor finita.
• Si la intersección de V y W no es propia, la multiplicidad anterior será cero. Si es propia, es estrictamente positiva. (Ninguna de las dos afirmaciones resulta obvia a partir de la definición).
• Utilizando un argumento de secuencia espectral , se puede demostrar que μ ( Z ; V , W ) = μ ( Z ; W , V ) .

El anillo de Chow es el grupo de ciclos algebraicos módulo equivalencia racional junto con el siguiente producto de intersección conmutativo :

${\displaystyle V\cdot W:=\sum _ {i}\mu (Z_ {i}; V, W) Z_ {i}}$

siempre que V y W se encuentren adecuadamente, donde${\displaystyle V\cap W=\cup _{i}Z_{i}}$es la descomposición de la intersección de la teoría de conjuntos en componentes irreducibles.

Dadas dos subvariedades V y W , se puede tomar su intersección V ∩ W , pero también es posible, aunque más sutil, definir la autointersección de una sola subvariedad.

Por ejemplo, dada una curva C en una superficie S , su intersección consigo misma (como conjuntos) es simplemente ella misma: C ∩ C = C. Esto es claramente correcto, pero por otro lado insatisfactorio: dadas dos curvas distintas cualesquiera en una superficie (sin componente común), se intersecan en algún conjunto de puntos, que por ejemplo se pueden contar, obteniendo un número de intersección , y podríamos querer hacer lo mismo para una curva dada: la analogía es que la intersección de curvas distintas es como multiplicar dos números: xy , mientras que la autointersección es como elevar al cuadrado un solo número: x² ^. Formalmente, la analogía se expresa como una forma bilineal simétrica (multiplicación) y una forma cuadrática (elevación al cuadrado).

Una solución geométrica a esto es intersecar la curva C no consigo misma, sino con una versión ligeramente desplazada de sí misma. En el plano, esto simplemente significa trasladar la curva C en alguna dirección, pero en general se habla de tomar una curva C′ que sea linealmente equivalente a C , y contar la intersección C · C′ , obteniendo así un número de intersección, denotado C · C. Nótese que, a diferencia de para curvas distintas C y D , los puntos de intersección reales no están definidos, porque dependen de una elección de C′ , pero los “puntos de autointersección de C′′” pueden interpretarse como k puntos genéricos en C , donde k = C · C. Más propiamente, el punto de autointersección de C es el punto genérico de C , tomado con multiplicidad C · C.

Alternativamente, se puede “resolver” (o motivar) este problema algebraicamente mediante la dualización y el análisis de la clase [ C ] ∪ [ C ] ; esto proporciona un valor numérico y plantea la cuestión de una interpretación geométrica. Cabe destacar que pasar a clases de cohomología es análogo a reemplazar una curva por un sistema lineal.

Tenga en cuenta que el número de autointersecciones puede ser negativo, como ilustra el ejemplo a continuación.