aritmética de intervalos

Consideremos el cálculo del índice de masa corporal (IMC) de una persona. El IMC se calcula dividiendo el peso corporal en kilogramos entre el cuadrado de la altura en metros. Supongamos que una persona utiliza una báscula con una precisión de un kilogramo, donde no se pueden distinguir los valores intermedios y el peso real se redondea al número entero más cercano. Por ejemplo, 79,6  kg y 80,3  kg son indistinguibles, ya que la báscula solo puede mostrar valores al kilogramo más cercano. Es improbable que cuando la báscula marca 80  kg, la persona pese exactamente 80,0  kg. Por lo tanto, la báscula que muestra 80  kg indica un peso entre 79,5  kg y 80,5  kg, o el intervalo [ 79,5, 80,5) .

El IMC de un hombre que pesa 80  kg y mide 1,80  m es aproximadamente 24,7. Un peso de 79,5  kg y la misma altura dan como resultado un IMC de 24,537, mientras que un peso de 80,5  kg da como resultado 24,846. Dado que la masa corporal es continua y siempre aumenta para todos los valores dentro del intervalo de peso especificado, el IMC real debe estar dentro del intervalo [ 24,537, 24,846 ] . Como todo el intervalo es menor que 25, que es el límite entre el peso normal y el excesivo, se puede concluir con certeza que el hombre tiene un peso normal.

El error en este ejemplo no afecta la conclusión (peso normal), pero esto no es una regla general. Si el hombre pesara un poco más, el rango del IMC podría incluir el valor límite de 25. En tal caso, la precisión de la báscula sería insuficiente para llegar a una conclusión definitiva.

El rango de ejemplos de IMC podría reportarse como [ 24.5, 24.9 ], ya que este intervalo es un superconjunto del intervalo calculado. Sin embargo, el rango no podría reportarse como [ 24.6, 24.8 ] , puesto que dicho intervalo no contiene valores posibles de IMC.

Múltiples intervalos

La altura y el peso corporal afectan el valor del IMC. Aunque el ejemplo anterior solo consideró la variación del peso, la altura también está sujeta a incertidumbre. Las mediciones de altura en metros generalmente se redondean al centímetro más cercano: una medición registrada de 1,79 metros representa una altura en el intervalo [ 1,785, 1,795) . Dado que el IMC aumenta uniformemente con respecto al peso y disminuye con respecto a la altura, el intervalo de error se puede calcular sustituyendo los valores mínimo y máximo de cada intervalo y luego seleccionando los resultados mínimo y máximo como límites. Por lo tanto, el IMC debe existir en el intervalo

${\displaystyle {\frac {[79.5,80.5)}{[1.785,1.795)^{2}}}\subseteq [24.673,25.266].}$

En este caso, el hombre podría tener un peso normal o sobrepeso; las mediciones de peso y altura no fueron lo suficientemente precisas como para llegar a una conclusión definitiva.

Para abreviar la notación de intervalos, se pueden usar corchetes.

[ x ] ≡ [ x ₁ , x ₂ ] se puede usar para representar un intervalo. Nótese que en esta notación compacta, [ x ] no debe confundirse entre un intervalo de un solo punto [ x ₁ , x ₁ ] y un intervalo general. Para el conjunto de todos los intervalos, podemos usar

${\displaystyle [\mathbb {R} ]:=\left\{\,[x_{1},x_{2}]\,|\,x_{1}\leq x_{2}{\text{ and }}x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}\right\}}$

como abreviatura. Para un vector de intervalos podemos usar una fuente en negrita:

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=\left([x]_{1},\ldots ,[x]_{n}\right)\in [\mathbb {R} ]^{n}.}$

También se pueden definir funciones de intervalo más allá de los cuatro operadores básicos.

Para funciones monótonas en una variable, el rango de valores es fácil de calcular. Si f  : ℝ → ℝ es monótonamente creciente en el intervalo [ x ₁ , x ₂ ] , entonces para todo y ₁ , y ₂ ∈ [ x ₁ , x ₂ ] tal que y ₁ < y ₂ , entonces f ( y ₁ ) ≤ f ( y ₂ ) (y si f es decreciente, f ( y ₁ ) ≥ f ( y ₂ ) ).

Por lo tanto, el rango correspondiente al intervalo [ y ₁ , y ₂ ] ⊆ [ x ₁ , x ₂ ] se puede calcular aplicando la función a sus extremos:

${\displaystyle f([y_{1},y_{2}])=\left[\min \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\},\max \left\{f(y_{1}),f(y_{2})\right\}\right].}$

A partir de esto, se pueden definir fácilmente las siguientes características básicas para las funciones de intervalo:

• Función exponencial :$${\displaystyle a^{[x_{1},x_{2}]}=[a^{x_{1}},a^{x_{2}}]\qquad {\text{for }}a>1,}$$
• Logaritmo :$${\displaystyle \log _{a}[x_{1},x_{2}]=[\log _{a}{x_{1}},\log _{a}{x_{2}}]\quad {\text{for positive intervals }}[x_{1},x_{2}]{\text{ and }}a>1,}$$
• Poderes extraños:$${\displaystyle [x_{1},x_{2}]^{n}=[x_{1}^{n},x_{2}^{n}]\qquad {\text{for odd }}n\in \mathbb {N} .}$$

Para potencias pares, el rango de valores considerados es importante y debe tratarse antes de realizar cualquier multiplicación. Por ejemplo, x ⁿ para x ∈ [ −1, 1 ] debería producir el intervalo [ 0, 1 ] para n ∈ ℕ par . Pero si [ −1, 1 ] ⁿ se toma repitiendo la multiplicación de intervalos de la forma [ −1, 1 ] · [ −1, 1 ] · ⋯ · [ −1, 1 ] entonces el resultado es [ −1, 1 ] , más amplio de lo necesario.

_En términos más generales , se puede decir que, para funciones monótonas por partes, basta con considerar los extremos x₁ _y x₂ de un intervalo, junto con los llamados puntos críticos dentro del intervalo, que son aquellos puntos donde la monotonicidad de la función cambia de dirección. Para las funciones seno y coseno , los puntos críticos se encuentran respectivamente en ( n + 1/2 ) π y nπ , para n ∈ ℤ . Por lo tanto, solo es necesario considerar hasta cinco puntos dentro de un intervalo, ya que el intervalo resultante es [ −1 , 1 ] si incluye al menos dos extremos. Para el seno y el coseno, solo los extremos necesitan una evaluación completa, ya que los puntos críticos conducen a valores fácilmente precalculados: −1, 0 y 1.

En general, puede que no sea fácil encontrar una descripción tan simple del intervalo de salida para muchas funciones. Pero aún puede ser posible extender las funciones a la aritmética de intervalos. Si f  : ℝ ⁿ → ℝ es una función de un vector real a un número real, entonces [ f ]  : [ℝ] ⁿ → [ℝ] se llama una extensión de intervalo de f si

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \{f(\mathbf {y} )\mid \mathbf {y} \in [\mathbf {x} ]\}.}$

Esta definición de la extensión de intervalo no proporciona un resultado preciso. Por ejemplo, tanto [ f ]( [ x ₁ , x ₂ ] ) = [ e ^{x ₁} , e ^{x ₂} ] como [ g ]( [ x ₁ , x ₂ ] ) = [ −∞, ∞ ] son ​​extensiones admisibles de la función exponencial. Se prefieren extensiones más ajustadas, aunque deben considerarse los costos relativos de cálculo y la imprecisión; en este caso, se debe elegir [ f ] ya que proporciona el resultado más ajustado posible.

Dada una expresión real, su extensión de intervalo natural se logra utilizando las extensiones de intervalo de cada una de sus subexpresiones, funciones y operadores.

La extensión del intervalo de Taylor (de grado k ) es una función f diferenciable k + 1 veces definida por

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ]):=f(\mathbf {y} )+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i!}}\mathrm {D} ^{i}f(\mathbf {y} )\cdot ([\mathbf {x} ]-\mathbf {y} )^{i}+[r]([\mathbf {x} ],[\mathbf {x} ],\mathbf {y} ),}$

para algún y ∈ [ x ] , donde D ⁱ f ( y ) es el diferencial de orden i de f en el punto y y [ r ] es una extensión de intervalo del resto de Taylor .

${\displaystyle r(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\xi }},\mathbf {y} )={\frac {1}{(k+1)!}}\mathrm {D} ^{k+1}f({\boldsymbol {\xi }})\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {y} )^{k+1}.}$

El vector ξ se encuentra entre x e y, con x , y ∈ [ x ] ; ξ está protegido por [ x ] . Generalmente , y se elige como el punto medio del intervalo y se utiliza la extensión natural del intervalo para calcular el resto.

El caso especial de la extensión del intervalo de Taylor de grado k = 0 también se conoce como la forma del valor medio .

Para que funcione eficazmente en una implementación real, los intervalos deben ser compatibles con la computación de punto flotante. Las operaciones anteriores se basaban en aritmética exacta, pero en general, es posible que no se disponga de métodos de solución numérica rápidos para ello. El rango de valores de la función f ( x , y ) = x + y para x ∈ [ 0.1, 0.8 ] e y ∈ [ 0.06, 0.08 ] es en este ejemplo [ 0.16, 0.88 ] . Cuando el mismo cálculo se realiza con precisión de un dígito, el resultado normalmente sería [ 0.2, 0.9 ] . Pero [ 0.2, 0.9 ] ⊉ [ 0.16, 0.88 ] , por lo que este enfoque contradiría los principios básicos de la aritmética de intervalos, ya que se perdería una parte del dominio de f ( [ 0.1, 0.8 ] , [ 0.06, 0.08 ] ) . En su lugar, se utiliza la solución redondeada hacia afuera [ 0.1, 0.9 ] .

El estándar IEEE 754 para aritmética de punto flotante binario también establece procedimientos para la implementación del redondeo. Un sistema compatible con IEEE 754 permite a los programadores redondear al número de punto flotante más cercano; las alternativas son redondear hacia cero (truncamiento), redondear hacia el infinito positivo (redondeo hacia arriba) o redondear hacia el infinito negativo (redondeo hacia abajo).

El redondeo externo necesario para la aritmética de intervalos se puede lograr modificando la configuración de redondeo del procesador al calcular el límite superior (arriba) y el límite inferior (abajo). Alternativamente, se puede agregar un intervalo pequeño apropiado [ ε ₁ , ε ₂ ] .

La aritmética de intervalos también se ha implementado utilizando aritmética de punto flotante de precisión arbitraria , donde la precisión es mucho mayor (pero aún finita, por lo que aún requiere redondeo). Los números de precisión arbitraria más grandes son lentos de calcular y requieren una cantidad significativa de espacio para almacenarse. Una variante de la aritmética de intervalos llamadaLa aritmética de bolas almacena un punto medio de alta precisión y un radio de baja precisión en lugar de dos límites inferior y superior de alta precisión como en la aritmética de intervalos convencional (ínfimo-supremo), ^{[ 4 ]} reduciendo el costo computacional. ^{[ 5 ]}

El llamado problema de dependencia representa un obstáculo importante para la aplicación de la aritmética de intervalos. Si bien los métodos de intervalos permiten determinar con gran precisión el rango de operaciones y funciones aritméticas elementales, esto no siempre se cumple con funciones más complejas. Si un intervalo aparece varias veces en un cálculo con parámetros, y cada aparición se considera de forma independiente, esto puede generar una expansión indeseada de los intervalos resultantes.

Como ejemplo, tomemos la función f definida por f ( x ) = x ² + x . Los valores de esta función en el intervalo [ −1, 1 ] son ​​[ − ⁠ 1 / 4 ⁠ , 2 ] . Como extensión natural del intervalo, se calcula como

${\displaystyle [-1,1]^{2}+[-1,1]=[0,1]+[-1,1]=[-1,2],}$

que es ligeramente mayor; en su lugar, hemos calculado el ínfimo y el supremo de la función h ( x , y ) = x ² + y sobre x , y ∈ [ −1, 1 ] . Hay una mejor expresión de f en la que la variable x aparece solo una vez, a saber, reescribiendo la cuadrática f ( x ) = x ² + x completando el cuadrado :

${\displaystyle f(x)=\left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{4}}.}$

Por lo tanto, el cálculo del intervalo adecuado es

${\displaystyle \left([-1,1]+{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{4}}=\left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\right]^{2}-{\tfrac {1}{4}}=\left[0,{\tfrac {9}{4}}\right]-{\tfrac {1}{4}}=\left[-{\tfrac {1}{4}},2\right]}$

y proporciona los valores correctos.

En general, se puede demostrar que se puede obtener el rango exacto de valores si cada variable aparece solo una vez y si f es continua dentro del recuadro. Sin embargo, no todas las funciones se pueden reescribir de esta manera.

La dependencia del problema, que provoca una sobreestimación del rango de valores, puede llegar a abarcar un rango muy amplio, impidiendo obtener conclusiones más significativas.

Un aumento adicional en el rango proviene de la solución de áreas que no toman la forma de un vector de intervalo. El conjunto de soluciones del sistema lineal

${\displaystyle {\begin{cases}x=p\\y=p\end{cases}}\qquad p\in [-1,1]}$

es precisamente la línea entre los puntos (−1, −1) y (1, 1) . Usando métodos de intervalo se obtiene el cuadrado unitario, [ −1, 1 ] × [ −1, 1 ] . Esto se conoce como el efecto de envoltura .

Un sistema de intervalos lineal consta de una extensión de intervalo matricial [ A ] ∈ [ℝ] ^{n × m} y un vector de intervalo [ b ] ∈ [ℝ] ⁿ . Queremos el cuboide más pequeño [ x ] ∈ [ℝ] ^m , para todos los vectores x ∈ ℝ ^m que existe un par ( A , b ) con A ∈ [ A ] y b ∈ [ b ] que satisface

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =\mathbf {b} }$.

Para sistemas cuadráticos (es decir, para n = m ), existe un vector de intervalo [ x ] que abarca todas las soluciones posibles, hallado simplemente con el método de Gauss de intervalo. Este método reemplaza las operaciones numéricas, ya que la eliminación gaussiana, un método de álgebra lineal , se convierte en su versión de intervalo. Sin embargo, dado que este método utiliza repetidamente las entidades de intervalo [ A ] y [ b ] en el cálculo, puede producir resultados deficientes para algunos problemas. Por lo tanto, el uso del resultado de Gauss de intervalo solo proporciona estimaciones iniciales aproximadas, puesto que, si bien contiene el conjunto completo de soluciones, también abarca una amplia región fuera de él.

Una solución aproximada [ x ] a menudo puede mejorarse mediante una versión de intervalo del método de Gauss-Seidel . La motivación para esto es que la i -ésima fila de la extensión de intervalo de la ecuación lineal

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{[a_{11}]}&\cdots &{[a_{1n}]}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{[a_{n1}]}&\cdots &{[a_{nn}]}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{x_{1}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{[b_{1}]}\\\vdots \\{[b_{n}]}\end{pmatrix}}}$

puede determinarse mediante la variable x _i si se permite la división 1 / [ a _ii ] . Por lo tanto , es simultáneamente

${\displaystyle x_{j}\in [x_{j}]\quad {\text{and}}\quad x_{j}\in {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\neq j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}}.}$

Así que ahora podemos reemplazar [ x _j ] por

${\displaystyle [x_{j}]\cap {\frac {[b_{i}]-\sum \limits _{k\neq j}[a_{ik}]\cdot [x_{k}]}{[a_{ii}]}},}$

y así el vector [ x ] por cada elemento.

Dado que el procedimiento es más eficiente para una matriz diagonalmente dominante , en lugar del sistema [ A ] · x = [ b ] , a menudo se puede intentar multiplicarlo por una matriz racional apropiada M con la ecuación matricial resultante.

${\displaystyle (\mathbf {M} \cdot [\mathbf {A} ])\cdot \mathbf {x} =\mathbf {M} \cdot [\mathbf {b} ]}$

queda por resolver. Si se elige, por ejemplo, M = A ⁻¹ para la matriz central A ∈ [ A ] , entonces M · [ A ] es una extensión exterior de la matriz identidad.

Estos métodos solo funcionan bien si los intervalos son suficientemente pequeños. Para intervalos más amplios, puede ser útil utilizar un sistema lineal de intervalos sobre sistemas lineales equivalentes de números reales finitos (aunque grandes). Si todas las matrices A ∈ [ A ] son ​​invertibles, basta con considerar todas las combinaciones posibles (superiores e inferiores) de los extremos de los intervalos. Los problemas resultantes pueden resolverse mediante métodos numéricos convencionales. La aritmética de intervalos se sigue utilizando para determinar errores de redondeo.

Esto solo es adecuado para sistemas de menor dimensión, ya que con una matriz n × n completamente ocupada, es necesario invertir 2 ^{n × 2} matrices reales, con 2 ⁿ vectores para el lado derecho. Este enfoque fue desarrollado por Jiri Rohn y aún se encuentra en desarrollo. ^{[ 6 ]}

Una variante de intervalo del método de Newton para encontrar los ceros en un vector de intervalo [ x ] se puede derivar de la extensión del valor promedio. ^{[ 7 ]} Para un vector desconocido z ∈ [ x ] aplicado a y ∈ [ x ] , se obtiene

${\displaystyle f(\mathbf {z} )\in f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} ).}$

Para un z cero , es decir f ( z ) = 0 , por lo tanto debe satisfacer

${\displaystyle f(\mathbf {y} )+[J_{f}](\mathbf {[x]} )\cdot (\mathbf {z} -\mathbf {y} )=0.}$

Esto es equivalente a

${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} ).}$

Se puede determinar una estimación externa de [ J _f ]([ x ]) ⁻¹ · f ( y ) utilizando métodos lineales.

En cada paso del método de Newton de intervalos, un valor inicial aproximado [ x ] ∈ [ℝ] ⁿ se reemplaza por

${\displaystyle [\mathbf {x} ]\cap \left(\mathbf {y} -[J_{f}](\mathbf {[x]} )^{-1}\cdot f(\mathbf {y} )\right)}$

y así se puede mejorar el resultado. A diferencia de los métodos tradicionales, el método de intervalos se aproxima al resultado al contener los ceros. Esto garantiza que el resultado produzca ceros en el rango inicial. Por el contrario, demuestra que no había ceros de f en el rango inicial [ x ] si un paso de Newton produce el conjunto vacío.

El método converge en todos los ceros de la región inicial. La división por cero puede conducir a la separación de ceros distintos, aunque la separación puede no ser completa; puede complementarse con el método de bisección .

Como ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x ² − 2 , el rango inicial [ x ] = [ −2, 2 ] , y el punto y = 0 . Entonces tenemos J _f ( x ) = 2 x y el primer paso de Newton da

${\displaystyle [-2,2]\cap \left(0-{\frac {1}{2\cdot [-2,2]}}(0-2)\right)=[-2,2]\cap \left(\left[-\infty ,-{\tfrac {1}{2}}\right]\cup \left[{\tfrac {1}{2}},\infty \right]\right)=\left[-2,-{\tfrac {1}{2}}\right]\cup \left[{\tfrac {1}{2}},2\right].}$

Se utilizan más pasos de Newton por separado en x ∈ [ −2, − ⁠ 1 / 2 ⁠ ] y x ∈ [ ⁠ 1 / 2 ⁠ , 2 ] . Estos convergen a intervalos arbitrariamente pequeños alrededor de − √ 2 y + √ 2 respectivamente.

El método de Newton de intervalos también se puede utilizar con funciones gruesas como g ( x ) = x ² − [ 2, 3 ] , que en cualquier caso tendrían resultados de intervalo. El resultado entonces produce intervalos que contienen [ − √ 3 , − √ 2 ] ∪ [ √ 2 , √ 3 ] .

Los distintos métodos de intervalos ofrecen resultados conservadores, ya que no se tienen en cuenta las dependencias entre los tamaños de las diferentes extensiones de intervalo. Sin embargo, el problema de la dependencia se vuelve menos significativo para intervalos más estrechos.

Cubrir un vector de intervalo [ x ] con cajas más pequeñas [ x ₁ ], …, [ x _k ] , de modo que

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=\bigcup _{i=1}^{k}[\mathbf {x} _{i}],}$

es entonces válido para el rango de valores.

${\displaystyle f([\mathbf {x} ])=\bigcup _{i=1}^{k}f([\mathbf {x} _{i}]).}$

Así pues, para las extensiones de intervalo descritas anteriormente se cumple lo siguiente:

${\displaystyle [f]([\mathbf {x} ])\supseteq \bigcup _{i=1}^{k}[f]([\mathbf {x} _{i}]).}$

Dado que [ f ]([ x ]) suele ser un superconjunto genuino del lado derecho, esto generalmente conduce a una estimación mejorada.

Dicha cubierta puede generarse mediante el método de bisección, como por ejemplo los elementos gruesos [ x _{i 1} , x _{i 2} ] del vector de intervalo.

${\displaystyle [\mathbf {x} ]=([x_{11},x_{12}],\ldots ,[x_{n1},x_{n2}])}$

al dividirse por el centro en dos intervalos

${\displaystyle \left[x_{i1},{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}}\right]\quad {\text{and}}\quad \left[{\frac {x_{i1}+x_{i2}}{2}},x_{i2}\right].}$

Si el resultado aún no es adecuado, es posible una subdivisión gradual adicional. Una cobertura de 2 ^r intervalos resulta de r divisiones de elementos vectoriales, lo que aumenta considerablemente los costos de cálculo.

Con intervalos muy amplios, puede ser útil dividirlos en varios subintervalos de ancho constante (y menor), un método conocido como división en segmentos . Esto evita los cálculos de los pasos de bisección intermedios. Ambos métodos solo son adecuados para problemas de baja dimensión.

La aritmética de intervalos se utiliza con el análisis de errores para controlar los errores de redondeo que surgen en cada cálculo. La ventaja de la aritmética de intervalos es que, después de cada operación, existe un intervalo que incluye de forma fiable el resultado real. La distancia entre los límites del intervalo proporciona directamente el cálculo actual de los errores de redondeo.

Error = abs( a − b ) para un intervalo dado [ a , b ] .

El análisis de intervalos complementa, en lugar de sustituir, los métodos tradicionales para la reducción de errores, como el pivoteo .

Durante la simulación de procesos técnicos y físicos, suelen surgir parámetros para los que no se pueden asignar valores exactos. El proceso de producción de componentes técnicos permite ciertas tolerancias, por lo que algunos parámetros fluctúan dentro de ciertos intervalos. Además, muchas constantes fundamentales no se conocen con precisión. ^{[ 1 ]}

Si el comportamiento de un sistema afectado por tolerancias satisface, por ejemplo, f ( x , p ) = 0 , para p ∈ [ p ] y x desconocido , entonces el conjunto de posibles soluciones.

${\displaystyle \{\mathbf {x} \,|\,\exists \mathbf {p} \in [\mathbf {p} ],f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} )=0\}}$,

Se puede encontrar mediante métodos de intervalos. Esto ofrece una alternativa al análisis tradicional de propagación de errores . A diferencia de los métodos puntuales, como la simulación de Monte Carlo , la metodología aritmética de intervalos garantiza que no se pase por alto ninguna parte del área de la solución. Sin embargo, el resultado siempre es un análisis del peor caso para la distribución del error, ya que no se consideran otras distribuciones basadas en probabilidades.

La aritmética de intervalos también puede utilizarse con funciones de afiliación para cantidades difusas, como se hace en la lógica difusa . Además de las afirmaciones estrictas x ∈ [ x ] y x ∉ [ x ] , también son posibles valores intermedios, a los que se asignan números reales μ ∈ [ 0, 1 ] . μ = 1 corresponde a la pertenencia definida, mientras que μ = 0 indica la no pertenencia. Una función de distribución asigna incertidumbre, que puede entenderse como un intervalo adicional.

Para la aritmética difusa ^{[ 9 ]} solo se considera un número finito de etapas de afiliación discretas μ _i ∈ [ 0, 1 ] . La forma de dicha distribución para un valor indistinto puede representarse entonces mediante una secuencia de intervalos.

${\displaystyle \left[x^{(1)}\right]\supset \left[x^{(2)}\right]\supset \cdots \supset \left[x^{(k)}\right].}$

El intervalo [ x ^{( i )} ] corresponde exactamente al rango de fluctuación para la etapa μ _i .

La distribución apropiada para una función f ( x ₁ , …, x _n ) con respecto a valores indistintos x ₁ , …, x _n y las secuencias correspondientes

${\displaystyle \left[x_{1}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{1}^{(k)}\right],\ldots ,\left[x_{n}^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[x_{n}^{(k)}\right]}$

puede aproximarse mediante la secuencia

${\displaystyle \left[y^{(1)}\right]\supset \cdots \supset \left[y^{(k)}\right],}$

dónde

${\displaystyle \left[y^{(i)}\right]=f\left(\left[x_{1}^{(i)}\right],\ldots \left[x_{n}^{(i)}\right]\right)}$

y se puede calcular mediante métodos de intervalos. El valor [ y ⁽¹⁾ ] corresponde al resultado de un cálculo de intervalos.

Warwick Tucker utilizó la aritmética de intervalos para resolver el 14º de los problemas de Smale , es decir, para demostrar que el atractor de Lorenz es un atractor extraño . ^{[ 10 ]} Thomas Hales utilizó la aritmética de intervalos para resolver la conjetura de Kepler .

El sitio web de Fast Library for Number Theory enumera varios usos de la biblioteca de aritmética de bolas FLINT/Arb en artículos publicados y preimpresiones. ^{[ 11 ]}