Transformación de intercambio de intervalos

En matemáticas , una transformación de intercambio de intervalos ^{[ 1 ]} es un tipo de sistema dinámico que generaliza la rotación de un círculo . El espacio de fases consiste en el intervalo unitario , y la transformación actúa dividiendo el intervalo en varios subintervalos y luego permutando estos subintervalos. Surgen de forma natural en el estudio de los billares poligonales y en los flujos que conservan el área .

Dejar${\displaystyle n>0}$y dejar${\displaystyle \pi }$ser una permutación en${\displaystyle 1,\dots ,n}$. Consideremos un vector${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$de números reales positivos (las anchuras de los subintervalos), que satisfacen

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.}$

Definir un mapa${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],}$denominada transformación de intercambio de intervalos asociada con el par${\displaystyle (\pi,\lambda)}$de la siguiente manera. Para${\displaystyle 1\leq i\leq n}$dejar

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{y}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.}$

Entonces para${\displaystyle x\in [0,1]}$, definir

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}$

si${\displaystyle x}$se encuentra en el subintervalo${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$. De este modo${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$actúa sobre cada subintervalo de la forma${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$mediante una traslación , y reorganiza estos subintervalos de modo que el subintervalo en la posición${\displaystyle i}$se mueve a la posición${\displaystyle \pi (i)}$.

Cualquier transformación de intercambio de intervalos${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es una biyección de${\displaystyle [0,1]}$a sí misma que conserva la medida de Lebesgue . Es continua excepto en un número finito de puntos.

La inversa de la transformación de intercambio de intervalos${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es de nuevo una transformación de intercambio de intervalos. De hecho, es la transformación${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$dónde${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$a pesar de${\displaystyle 1\leq i\leq n}$.

Si${\displaystyle n=2}$y${\displaystyle \pi =(12)}$(en notación cíclica ), y si unimos los extremos del intervalo para formar un círculo, entonces${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es simplemente una rotación de círculo . El teorema de equidistribución de Weyl afirma entonces que si la longitud${\displaystyle \lambda _{1}}$es irracional , entonces${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es singularmente ergódico . En términos generales, esto significa que las órbitas de los puntos de${\displaystyle [0,1]}$están distribuidos uniformemente. Por otro lado, si${\displaystyle \lambda _{1}}$es racional entonces cada punto del intervalo es periódico y el período es el denominador de${\displaystyle \lambda _{1}}$(escrito en términos sencillos).

Si${\displaystyle n>2}$y proporcionó${\displaystyle \pi }$satisface ciertas condiciones de no degeneración (a saber, no hay ningún entero)${\displaystyle 0<k<n}$de tal manera que${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$), un teorema profundo que fue una conjetura de M. Keane y debido independientemente a William A. Veech ^{[ 2 ]} y a Howard Masur ^{[ 3 ]} afirma que para casi todas las elecciones de${\displaystyle \lambda }$en el simplex unitario${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$la transformación de intercambio de intervalos${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es nuevamente singularmente ergódico . Sin embargo, para${\displaystyle n\geq 4}$También existen opciones de${\displaystyle (\pi,\lambda)}$de modo que${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es ergódico pero no exclusivamente ergódico . Incluso en estos casos, el número de medidas invariantes ergódicas de${\displaystyle T_{\pi,\lambda}}$es finito y es como máximo${\displaystyle n}$.

Los mapas de intervalos tienen una entropía topológica de cero. ^{[ 4 ]}

El odómetro diádico puede entenderse como una transformación de intercambio de intervalos de un número contable de intervalos. El odómetro diádico se escribe más fácilmente como la transformación

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

definido en el espacio de Cantor${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$La aplicación estándar del espacio de Cantor al intervalo unitario viene dada por

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

Esta correspondencia es un homomorfismo que conserva la medida , desde el conjunto de Cantor al intervalo unitario, ya que asigna la medida de Bernoulli estándar en el conjunto de Cantor a la medida de Lebesgue en el intervalo unitario. A la derecha se muestra una visualización del odómetro y sus tres primeras iteraciones.

Las generalizaciones de dos y más dimensiones incluyen intercambios de polígonos, intercambios poliédricos e isometrías por partes . ^{[ 5 ]}

• Cuentakilómetros

• Artur Avila y Giovanni Forni, Mezcla débil para transformaciones de intercambio de intervalos y flujos de traslación , arXiv:math/0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326