Radio de convergencia

En matemáticas , el radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del disco más grande en el centro de la serie en el que converge la serie . Es un número real no negativo o${\displaystyle \infty }$Cuando es positivo, la serie de potencias converge absoluta y uniformemente en conjuntos compactos dentro del disco abierto de radio igual al radio de convergencia, y es la serie de Taylor de la función analítica a la que converge. En caso de singularidades múltiples de una función (las singularidades son aquellos valores del argumento para los cuales la función no está definida), el radio de convergencia es la más corta o mínima de todas las distancias respectivas (que son todas números no negativos) calculadas desde el centro del disco de convergencia hasta las singularidades respectivas de la función.

Para una serie de potencias f definida como: $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n}}$$ dónde

a es una constante compleja , el centro del disco de convergencia,

c _n es el n- ésimo coeficiente complejo, y

z es una variable compleja.

El radio de convergencia r es un número real no negativo o infinito tal que la serie converge si $${\displaystyle |za|<r,}$$ y diverge si $${\displaystyle |za|>r.}$$

Algunos podrían preferir una definición alternativa, ya que la existencia es obvia: $${\displaystyle r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}}$$

En el límite, es decir, donde | z − a | = r , el comportamiento de la serie de potencias puede ser complicado, y la serie puede converger para algunos valores de z y divergir para otros. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para todos los números complejos z . ^{[ 1 ]}

Se presentan dos casos:

• El primer caso es teórico: cuando se conocen todos los coeficientes.${\displaystyle c_{n}}$Luego se toman ciertos límites y se halla el radio de convergencia preciso.
• El segundo caso es práctico: al construir una solución en serie de potencias para un problema difícil, normalmente solo se conoce un número finito de términos, desde un par hasta cien. En este caso, la extrapolación de una gráfica permite estimar el radio de convergencia.

Estimación práctica del radio en el caso de coeficientes reales

Por lo general, en las aplicaciones científicas, solo se utiliza un número finito de coeficientes.${\displaystyle c_{n}}$son conocidos. Típicamente, como${\displaystyle n}$A medida que aumenta, estos coeficientes se estabilizan en un comportamiento regular determinado por la singularidad límite de radio más cercana. En este caso, se han desarrollado dos técnicas principales, basadas en el hecho de que los coeficientes de una serie de Taylor son aproximadamente exponenciales con razón${\displaystyle 1/r}$dónde${\displaystyle r}$es el radio de convergencia.

• El caso básico se da cuando los coeficientes finalmente comparten un signo común o alternan de signo. Como se señaló anteriormente en el artículo, en muchos casos el límite${\textstyle \lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$existe, y en este caso${\textstyle 1/r=\lim _{n\to \infty }{c_{n}/c_{n-1}}}$. Negativo${\displaystyle r}$significa que la singularidad que limita la convergencia está en el eje negativo. Estime este límite, graficando el${\displaystyle c_{n}/c_{n-1}}$versus${\displaystyle 1/n}$y extrapolar gráficamente a${\displaystyle 1/n=0}$(eficazmente${\displaystyle n=\infty }$) mediante un ajuste lineal . La intersección con${\displaystyle 1/n=0}$estima el recíproco del radio de convergencia,${\displaystyle 1/r}$Este gráfico se denomina gráfico de Domb-Sykes . ^{[ 3 ]}
• El caso más complicado se da cuando los signos de los coeficientes tienen un patrón más complejo. Mercer y Roberts propusieron el siguiente procedimiento. ^{[ 4 ]} Definir la secuencia asociada$${\displaystyle b_{n}^{2}={\frac {c_{n+1}c_{n-1}-c_{n}^{2}}{c_{n}c_{n-2}-c_{n-1}^{2}}}\quad n=3,4,5,\ldots .}$$Traza los muchos conocidos finitos${\displaystyle b_{n}}$versus${\displaystyle 1/n}$y extrapolar gráficamente a${\displaystyle 1/n=0}$mediante un ajuste lineal. La intersección con${\displaystyle 1/n=0}$estima el recíproco del radio de convergencia,${\displaystyle 1/r}$.
  Este procedimiento también estima otras dos características de la singularidad que limita la convergencia. Supongamos que la singularidad más cercana es de grado${\displaystyle p}$y tiene ángulo${\displaystyle \pm \theta }$al eje real. Entonces, la pendiente del ajuste lineal dado anteriormente es${\displaystyle -(p+1)/r}$Además, la trama${\textstyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {c_{n-1}b_{n}}{c_{n}}}+{\frac {c_{n+1}}{c_{n}b_{n}}}\right)}$versus${\textstyle 1/n^{2}}$, luego un ajuste lineal extrapolado a${\textstyle 1/n^{2}=0}$tiene interceptar en${\displaystyle \cos \theta }$.

Una serie de potencias con radio de convergencia positivo puede transformarse en una función holomorfa tomando su argumento como una variable compleja. El radio de convergencia se puede caracterizar mediante el siguiente teorema:

El radio de convergencia de una serie de potencias f centrada en un punto a es igual a la distancia desde a hasta el punto más cercano donde f no se puede definir de manera que sea holomorfa.

El conjunto de todos los puntos cuya distancia a a es estrictamente menor que el radio de convergencia se llama disco de convergencia .

El punto más cercano significa el punto más cercano en el plano complejo , no necesariamente en la recta real, incluso si el centro y todos los coeficientes son reales. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$

no tiene singularidades en la recta real, ya que${\displaystyle 1+z^{2}}$no tiene raíces reales. Su serie de Taylor alrededor de 0 está dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}.}$

La prueba de la raíz muestra que su radio de convergencia es 1. De acuerdo con esto, la función f ( z ) tiene singularidades en  ± i , que están a una distancia 1 de  0.

Para una demostración de este teorema, véase la analiticidad de las funciones holomorfas .

Si la serie de potencias se desarrolla alrededor del punto a y el radio de convergencia es r , entonces el conjunto de todos los puntos z tales que | z − a | = r es un círculo llamado frontera del disco de convergencia. Una serie de potencias puede divergir en todos los puntos de la frontera, divergir en algunos puntos y converger en otros, o converger en todos los puntos de la frontera. Además, incluso si la serie converge en toda la frontera (incluso uniformemente), no necesariamente converge absolutamente.

Ejemplo 1: La serie de potencias para la función f ( z ) = 1/(1 − z ) , expandida alrededor de z = 0 , que es simplemente

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n},}$

tiene un radio de convergencia de 1 y diverge en cada punto de la frontera.

Ejemplo 2: La serie de potencias para g ( z ) = −ln(1 − z ) , expandida alrededor de z = 0 , que es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n},}$

tiene radio de convergencia 1, y diverge para z = 1 pero converge para todos los demás puntos en el límite. La función f ( z ) del Ejemplo 1 es la derivada de g ( z ) .

Ejemplo 3: La serie de potencias

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}}$

tiene radio de convergencia 1 y converge absolutamente en todas partes en el límite. Si h es la función representada por esta serie en el disco unitario , entonces la derivada de h ( z ) es igual a g ( z )/ z con g del Ejemplo 2. Resulta que h ( z ) es la función dilogaritmo .

Ejemplo 4: La serie de potencias

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}z^{i}{\text{ where }}a_{i}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}{\text{ for }}n=\lfloor \log _{2}(i)\rfloor +1{\text{, the unique integer with }}2^{n-1}\leq i<2^{n},}$

tiene radio de convergencia 1 y converge uniformemente en todo el límite | z | = 1 , pero no converge absolutamente en el límite. ^{[ 5 ]}

Si ampliamos la función

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x}$

Alrededor del punto x = 0, encontramos que el radio de convergencia de esta serie es${\displaystyle \infty }$Esto significa que esta serie converge para todos los números complejos. Sin embargo, en las aplicaciones, a menudo interesa la precisión de una respuesta numérica . Tanto el número de términos como el valor en el que se evalúa la serie afectan la exactitud de la respuesta. Por ejemplo, si queremos calcular sin(0.1) con una precisión de hasta cinco decimales, solo necesitamos los dos primeros términos de la serie. Sin embargo, si queremos la misma precisión para x = 1, debemos evaluar y sumar los cinco primeros términos de la serie. Para sin(10) , se requieren los primeros 18 términos de la serie, y para sin(100) necesitamos evaluar los primeros 141 términos.

Así pues, para estos valores concretos, la convergencia más rápida de un desarrollo en serie de potencias se produce en el centro, y a medida que uno se aleja del centro de convergencia, la tasa de convergencia disminuye hasta llegar al límite (si existe) y cruzarlo, en cuyo caso la serie divergirá.

Un concepto análogo es la abscisa de convergencia de una serie de Dirichlet.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Dicha serie converge si la parte real de s es mayor que un número particular que depende de los coeficientes a _n : la abscisa de convergencia.

• Brown, James; Churchill, Ruel (1989), Variables complejas y aplicaciones , Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-010905-6
• Stein, Elias ; Shakarchi, Rami (2003), Análisis complejo , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

• Teorema de Abel
• Pruebas de convergencia
• Prueba de raíz

• ¿Qué es el radio de convergencia?