dados intransitivos

Un conjunto de dados es intransitivo (o no transitivo) si contiene $n>2$ dados, $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ con la propiedad que $X_{1}$ tira más alto que $X_{2}$ más de la mitad de las veces, $X_{2}$ tira más alto que $X_{3}$ más de la mitad de las veces, y así sucesivamente, pero $X_{1}$ no rueda más alto que $X_{n}$ más de la mitad de las veces. En otras palabras, un conjunto de dados es intransitivo si la relación binaria – $X$ obtiene un número mayor que $Y$ más de la mitad de las veces – en sus elementos no es transitiva . Más simplemente, $X_{1}$ normalmente supera $X_{2}$ , $X_{2}$ normalmente supera $X_{3}$ , pero $X_{1}$ normalmente no vence $X_{n}$ .

Es posible encontrar conjuntos de dados con la propiedad aún más fuerte de que, para cada dado del conjunto, hay otro dado que saca un número mayor que él más de la mitad de las veces. Esto es diferente en que en lugar de solo " $X_{1}$ normalmente no vence $X_{n}$ "Ahora es " $X_{n}$ normalmente supera $X_{1}$ ". Usando un conjunto de dados como este, se pueden inventar juegos que están sesgados de maneras que las personas no acostumbradas a los dados intransitivos podrían no esperar (ver ejemplo ). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Ejemplo

Consideremos el siguiente conjunto de dados.

El dado A tiene caras 2, 2, 4, 4, 9, 9.
El dado B tiene caras 1, 1, 6, 6, 8, 8.
El dado C tiene caras 3, 3, 5, 5, 7, 7.

La probabilidad de que A saque un número mayor que B , la probabilidad de que B saque un número mayor que C y la probabilidad de que C saque un número mayor que A son todas 5/9 , por lo que este conjunto de dados es intransitivo. De hecho, tiene la propiedad aún más fuerte de que, para cada dado del conjunto, hay otro dado que saca un número mayor que él más de la mitad de las veces.

Ahora bien, consideremos el siguiente juego, que se juega con un conjunto de dados.

El primer jugador elige un dado del conjunto.
El segundo jugador elige un dado de entre los dados restantes.
Ambos jugadores tiran sus dados; gana el jugador que saque el número más alto.

Si este juego se juega con un conjunto de dados transitivos, es justo o está sesgado a favor del primer jugador, ya que este siempre puede encontrar un dado que no será superado por ningún otro dado más de la mitad de las veces. Sin embargo, si se juega con el conjunto de dados descrito anteriormente, el juego está sesgado a favor del segundo jugador, ya que este siempre puede encontrar un dado que superará al dado del primer jugador con una probabilidad de 5/9 . Las siguientes tablas muestran todos los resultados posibles para los tres pares de dados.

Si se permiten dados ponderados, es decir, con pesos de probabilidad desiguales para cada cara, entonces conjuntos alternativos de tres dados pueden lograr probabilidades aún mayores que ${\frac {5}{9}}\approx 0.56$ que cada dado vence al siguiente en el ciclo. La mayor probabilidad posible es uno sobre la proporción áurea , ${\frac {1}{\varphi }}\approx 0.62$ . ^{[ 5 ]}

Variaciones

Los dados de Efron

Los dados de Efron son un conjunto de cuatro dados intransitivos inventados por Bradley Efron . ^{[ 4 ]}

Los cuatro dados A, B, C, D tienen los siguientes números en sus seis caras:

A: 4, 4, 4, 4, 0, 0
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Cada dado es superado por el dado anterior en la lista con desbordamiento, con probabilidad ⁠ 2 / 3 ⁠ . C supera a A con probabilidad ⁠ 5 / 9 ⁠ , y B y D tienen las mismas posibilidades de superarse mutuamente. ^[⁴^] Si cada jugador tiene un conjunto de dados de Efron, existe un continuo de estrategias óptimas para un jugador, en el que elige su dado con las siguientes probabilidades, donde 0 ≤ x ≤ ⁠ 3 / 7 ⁠ : ^[⁴^]

P(elegir A) = x

P ( elegir ) = 1/2 5/6 x

P(elegir C) = x

P ( elegir D = 1/2 7/6 x

Los dados de Miwin

Los dados de Miwin son un conjunto de dados no transitivos inventados en 1975 por el físico Michael Winkelmann. Constan de tres dados diferentes con caras numeradas del uno al nueve; la suma de las caras opuestas es nueve, diez u once. Los dados de Miwin permiten generar números aleatorios dentro de un rango determinado, de manera que cada número incluido tenga la misma probabilidad de aparecer. Para obtener un rango que no comience con 1 o 0, basta con añadir un valor constante para que se encuentre dentro de dicho rango (para obtener números aleatorios entre 8 y 16, ambos inclusive, siga las instrucciones del 1 al 9 que se indican a continuación y sume siete al resultado de cada tirada).

1 – 9 : Se lanza un dado (elegido al azar): P(1) = P(2) = ... = P(9) = 1/9
0 – 80 : Se lanzan 2 dados (elegidos al azar con reemplazo), calcula 9x(primer lanzamiento)-(segundo lanzamiento): P(0) = P(1) = ... = P(80) = 1/9² = 1/81

Los números de cada dado suman 30 y tienen una media aritmética de cinco. Los dados de Miwin tienen seis caras, cada una con un número representado mediante un patrón de puntos.

1/3 de los valores de la cara del troquel se pueden dividir por tres sin que haya arrastre.
1/3 de los valores de la cara del troquel se pueden dividir por tres, teniendo un acarreo de uno.
1/3 de los valores de la cara del troquel se pueden dividir por tres, teniendo un acarreo de dos.

Consideremos un conjunto de tres dados, III, IV y V, tales que

El dado III tiene caras 1, 2, 5, 6, 7, 9
El dado IV tiene caras 1, 3, 4, 5, 8, 9
El dado V tiene caras 2, 3, 4, 6, 7, 8

Entonces:

La probabilidad de que III saque un número mayor que IV es 17/36 .
La probabilidad de que IV obtenga un número mayor que V es 17/36 .
La probabilidad de que V saque un número mayor que III es 17/36 .

Esto se debe a que la probabilidad de obtener un número determinado con los tres dados es de 11/36, la de obtener un doble es de 1/36, y la de obtener cualquier doble es de 1/4. La probabilidad de obtener un doble es solo del 50% en comparación con los dados normales.

Frecuencia acumulada tipo III y IV
Frecuencia acumulada tipo III y V
Frecuencia acumulada tipo IV y V
Frecuencia acumulada tipo III, IV y V = "Distribución de Miwin"

Diseño de números de dados Miwins III, IV, V

Los dados en los conjuntos Miwin primero y segundo tienen atributos similares: cada dado tiene cada uno de sus números exactamente una vez, la suma de los números es 30, y cada número del uno al nueve se distribuye dos veces entre los tres dados. Este atributo caracteriza la implementación de dados intransitivos, lo que permite las diferentes variantes del juego. Todos los juegos necesitan solo tres dados, en comparación con otros dados no transitivos teóricos, diseñados desde una perspectiva matemática, como los dados de Efron . ^{[ 6 ]} En el primer conjunto, cada dado recibe el nombre de la suma de sus dos números más bajos. Los puntos de cada dado son de color azul, rojo o negro. Cada dado tiene los siguientes números:

Los números 1 y 9, 2 y 7, y 3 y 8 se encuentran en caras opuestas en los tres dados. Los números adicionales son 5 y 6 en el dado III, 4 y 5 en el dado IV, y 4 y 6 en el dado V. Los dados están diseñados de tal manera que, por cada dado, otro suele ganarle. La probabilidad de que un dado dado en la secuencia (III, IV, V, III) saque un número mayor que el siguiente es de 17/36; un número menor, de 16/36. Por lo tanto, el dado III tiende a ganar contra el IV, el IV contra el V, y el V contra el III. Estos dados se conocen como no transitivos.

Diseño de los números de los dados Miwins IX, X, XI

En el segundo conjunto, cada dado recibe el nombre de la suma de sus números mínimo y máximo. Los puntos de cada dado son de color amarillo, blanco o verde. Cada dado tiene los siguientes números:

La probabilidad de que un dado dado en la secuencia (XI, X, IX, XI) saque un número mayor que el siguiente en la secuencia es de 17/36; un número menor, de 16/36. Por lo tanto, el dado XI tiende a ganar contra el X, el X contra el IX, y el IX contra el XI.

En el tercer set:

En el cuarto set:

La probabilidad de que un dado dado en la primera secuencia (5, 3, 1, 5) o en la segunda secuencia (6, 4, 2, 6) saque un número mayor que el siguiente en la secuencia es 5/9; un número menor, 4/9.

Otras distribuciones

En la distribución de 0 a 90 (lanzamiento 3 veces), la probabilidad que rige es P(0) = P(1) = ... = P(90) = 8/9³ = 8/729. Para obtener una distribución uniforme con números del 0 al 90, se lanzan los tres dados, uno a la vez, en orden aleatorio. El resultado se calcula según las siguientes reglas:

El primer lanzamiento es 9, el tercer lanzamiento no es 9: da 10 veces el segundo lanzamiento (puntuaciones posibles: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90)
El primer lanzamiento no es 9: da 10 veces el primer lanzamiento, más el segundo lanzamiento.
El primer lanzamiento es igual al tercer lanzamiento: da como resultado el segundo lanzamiento (puntuaciones posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Todos los dados son iguales: da 0
Todos los dados 9: sin puntuación

Muestra:

Esto da 91 números, del 0 al 90 con una probabilidad de 8/9³, 8 × 91 = 728 = 9³ − 1. En la distribución del 0 al 103 (lanzamiento 3 veces), la probabilidad que rige es P(0) = P(1) = ... = P(103) = 7/9³ = 7/729. Esto da 104 números del 0 al 103 con una probabilidad de 7/9³, 7 × 104 = 728 = 9³ − 1.

En la distribución de 0 a 728 (lanzamiento 3 veces), la probabilidad que rige es P(0) = P(1) = ... = P(728) = 1 / 9³ = 1 / 729. Esto da 729 números, de 0 a 728, con una probabilidad de 1 / 9³. Este sistema produce este máximo: 8 × 9² + 8 × 9 + 8 × 9° = 648 + 72 + 8 = 728 = 9³ − 1. Se lanza un dado a la vez, tomado al azar. Crea un sistema numérico de base 9:

Se debe restar 1 del valor nominal de cada rollo porque solo hay 9 dígitos en este sistema numérico (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).
(1er lanzamiento) × 81 + (2do lanzamiento) × 9 + (3er lanzamiento) × 1

Ejemplos:

Juegos

Desde mediados de la década de 1980, la prensa escribió sobre los juegos. ^{[ 7 ]} Winkelmann presentó juegos él mismo, por ejemplo, en 1987 en Viena, en el "Österrechischen Spielefest, Stiftung Spielen in Österreich", Leopoldsdorf, donde "Miwin's dice" ganó el premio "Novel Independent Dice Game of the Year".

En 1989, los juegos fueron reseñados por la revista "Die Spielwiese". ^{[ 8 ]} En ese momento, existían 14 alternativas de juegos de azar y estratégicos para los dados de Miwin. La revista "Spielbox" tenía dos variantes de juegos para los dados de Miwin en la categoría "Unser Spiel im Heft" (ahora conocida como "Edition Spielbox"): el juego solitario 5 a 4 y el juego estratégico para dos jugadores Bitis .

En 1994, la editorial vienesa Arquus publicó el libro de Winkelmann, Göttliche Spiele , ^{[ 9 ]} que contenía 92 juegos, una copia maestra para cuatro tableros de juego, documentación sobre los atributos matemáticos de los dados y un juego de dados de Miwin. En el sitio web de Winkelmann se enumeran aún más variantes de juego. ^{[ 10 ]}

Se han desarrollado juegos de solitario y juegos para hasta nueve jugadores. Los juegos son adecuados para mayores de seis años. Algunos juegos requieren un tablero; la duración de cada partida varía entre 5 y 60 minutos.

En la primera variante, se lanzan dos dados elegidos al azar, uno a la vez. Cada par se puntúa multiplicando el primer dado por nueve y restando el segundo del resultado: 1.ª tirada × 9 − 2.ª tirada. Esta variante proporciona números del 0 al 80 con una probabilidad de 1/9² = 1/81.

Ejemplos:

En la segunda variante, se lanzan dos dados elegidos al azar, uno a la vez. Esta variante proporciona números del 0 al 80 con una probabilidad de 1 / 9² = 1 / 81. El par se puntúa según las siguientes reglas:

El primer lanzamiento es 9: da 10 × 2do lanzamiento − 10
El primer lanzamiento no es 9: da 10 × primer lanzamiento + segundo lanzamiento − 10

Ejemplos:

En la tercera variante, se lanzan dos dados, elegidos al azar, uno a la vez. La puntuación se obtiene según las siguientes reglas:

Ambos lanzamientos son 9: da 0
El primer lanzamiento es 9 y el segundo lanzamiento no es 9: da 10 × segundo lanzamiento
El primer lanzamiento es 8: da el segundo lanzamiento
Todos los demás: da 10 × 1er lanzamiento − 2do lanzamiento

Ejemplos:

Juego de dados intransitivos para más de dos jugadores

Varias personas han introducido variantes de dados intransitivos en las que se puede competir contra más de un oponente.

Tres jugadores

Oskar dice

Oskar van Deventer introdujo un conjunto de siete dados (todas las caras con probabilidad ⁠ 1 / 6 ⁠ ) de la siguiente manera: ^[¹¹^]

A: 2, 2, 14, 14, 17, 17
B: 7, 7, 10, 10, 16, 16
C: 5, 5, 13, 13, 15, 15
D: 3, 3, 9, 9, 21, 21
E: 1, 1, 12, 12, 20, 20
F: 6, 6, 8, 8, 19, 19
G: 4, 4, 11, 11, 18, 18

Se puede verificar que A vence a {B,C,E}; B vence a {C,D,F}; C vence a {D,E,G}; D vence a {A,E,F}; E vence a {B,F,G}; F vence a {A,C,G}; G vence a {A,B,D}. En consecuencia, para dos dados elegidos arbitrariamente hay un tercer dado que vence a ambos. A saber,

G marca {A,B}; F marca {A,C}; G marca {A,D}; D marca {A,E}; D marca {A,F}; F marca {A,G};
La marca {Si,Do}; Sol marca {Si,Re}; La marca {Si,Mi}; Mi marca {Si,Fa}; Mi marca {Si,Sol};
B marca {C,D}; A marca {C,E}; B marca {C,F}; F marca {C,G};
C marca {D,E}; B marca {D,F}; C marca {D,G};
D marca {E,F}; C marca {E,G};
E vence a {F,G}.

Independientemente de lo que elijan los dos oponentes, el tercer jugador encontrará uno de los dados restantes que supere los dados de ambos oponentes.

dados sucios

El Dr. James Grime descubrió un conjunto de cinco dados como sigue: ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

A: 2, 2, 2, 7, 7, 7
B: 1, 1, 6, 6, 6, 6
C: 0, 5, 5, 5, 5, 5
D: 4, 4, 4, 4, 4, 9
E: 3, 3, 3, 3, 8, 8

Los colores suelen ser como se muestra a continuación.

A: Rojo
B: Azul
C: Verde
D: Amarillo
E: Magenta

Se puede comprobar que, cuando el juego se juega con un juego de dados Grime:

A vence a B vence a C vence a D vence a E vence a A (primera cadena);
A golpea a C, que golpea a E, que golpea a B, que golpea a D, que golpea a A (segunda cadena).

Sin embargo, cuando el juego se juega con dos conjuntos de estos, la primera cadena permanece igual, excepto que D vence a C, pero la segunda cadena se invierte (es decir, A vence a D, que vence a B, que vence a E, que vence a C, que vence a A). En consecuencia, independientemente de los dados que elijan los dos oponentes, el tercer jugador siempre puede encontrar uno de los dados restantes que los venza a ambos (siempre que se le permita al jugador elegir entre la opción de un dado y la de dos dados):

Cuatro jugadores

Se ha demostrado que un juego para cuatro jugadores requeriría al menos 19 dados. ^{[ 12 ]}^{[ 14 ]} En julio de 2024, el usuario de GitHub NGeorgescu publicó un conjunto de 23 dados de once caras que satisfacen las restricciones del problema intransitivo de los dados para cuatro jugadores. ^{[ 15 ]} El conjunto no ha sido publicado en una revista académica ni ha sido revisado por pares.

Georgescu dice

En 2024, el científico estadounidense Nicholas S. Georgescu descubrió un conjunto de 23 dados que resuelven el problema intransitivo de los dados para cuatro jugadores. ^{[ 16 ]}

Gráfico de victorias con dados intransitivos para cuatro jugadores

Li dice

Posteriormente, Youhua Li desarrolló un conjunto de 19 dados con 171 caras cada uno que resuelve el problema de cuatro jugadores. Se ha demostrado que esto es extensible a cualquier número de dados dado un grafo de dominación con n nodos, produciendo dados con n(n−1)/2 caras. ^{[ 17 ]}

Dados intransitivos de 12 caras

De forma análoga a los dados intransitivos de seis caras, también existen dodecaedros que funcionan como dados intransitivos de doce caras . La suma de los puntos de cada dado es 114. No hay números repetidos en ninguno de los dodecaedros.

Los dodecaedros de Miwin (conjunto 1) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.

Los dodecaedros del miwin (conjunto 2) ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 71:67.

Conjunto 1:

D III
D IV
DV

Conjunto 2:

D VI
D VII
D VIII

Dados de 12 caras con números primos intransitivos

También es posible construir conjuntos de dodecaedros intransitivos de tal manera que no haya números repetidos y todos sean primos. Los dodecaedros primos intransitivos de Miwin ganan cíclicamente entre sí en una proporción de 35:34.

Conjunto 1: La suma de los números es 564.

PD 11
PD 12
PD 13

Conjunto 2: La suma de los números es 468.

PD 1
PD 2
PD 3

Dados intransitivos generalizados de Muñoz-Perera

Una generalización de conjuntos de dados intransitivos con $N$ Es posible que se muestren rostros. ^{[ 18 ]} Dado $N\geq 3$ , definimos el conjunto de dados $\{D_{n}\}_{n=1}^{N}$ como las variables aleatorias que toman valores cada una en el conjunto $\{v_{n,j}\}_{j=1}^{J}$ con

$\mathbb {P} \left[D_{n}=v_{n,j}\right]={\frac {1}{J}}$ ,

así que tenemos $N$ dados justos de $J$ caras.

Para obtener un conjunto de dados intransitivos basta con establecer los valores. $v_{n,j}$ para $n,j=1,2,\ldots ,N$ con la expresión

$v_{n,j}=(j-1)N+(nj){\text{mod}}(N)+1$ ,

obtener un conjunto de $N$ dados justos de $N$ caras

Utilizando esta expresión, se puede verificar que

$\mathbb {P} \left[D_{m}<D_{n}\right]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2N}}-{\frac {(nm){\text{mod}}(N)}{N^{2}}}$ ,

Así que cada dado golpea $\lfloor N/2-1\rfloor$ dados en el juego.

Ejemplos

3 caras

El conjunto de dados obtenido en este caso es equivalente al primer ejemplo de esta página, pero eliminando las caras repetidas. Se puede verificar que $D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{y}}\ D_{1}>D_{3}$ .

4 caras

Nuevamente se puede verificar que $D_{4}>D_{3},D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{y}}\ D_{1}>D_{4}$ .

6 caras

De nuevo $D_{6}>D_{5},D_{5}>D_{4},D_{4}>D_{3},D_{3}>D_{2},D_{2}>D_{1}\ {\text{y}}\ D_{1}>D_{6}$ . Además $D_{6}>\{D_{5},D_{4}\},D_{5}>\{D_{4},D_{3}\},D_{4}>\{D_{3},D_{2}\},D_{3}>\{D_{2},D_{1}\},D_{2}>\{D_{1},D_{6}\}\ {\text{y}}\ D_{1}>\{D_{6},D_{5}\}$ .

Véase también

Referencias

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Fuentes

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Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln (en alemán). Bildungsverlag Lemberger. ISBN 978-3-85221-531-0.

Enlaces externos

Página de MathWorld
MathTrek de Ivars Peterson: Una nueva versión de los dados complicados (15 de abril de 2002)
Página de acertijos de Jim Loy
Sitio web oficial de Miwin (en alemán)
Buscador de dados no transitivo de código abierto
Dados no transitivos de James Grime
Material matemático
Conrey, B., Gabbard, J., Grant, K., Liu, A., & Morrison, K. (2016). Dados intransitivos. Mathematics Magazine, 89(2), 133-143. Premio otorgado por la Asociación Matemática de América.
El proyecto de Timothy Gowers sobre dados intransitivos
Klarreich, Erica (19 de enero de 2023). "Los matemáticos tiran los dados y obtienen piedra, papel o tijera" . Quanta Magazine .
El sitio de Adrián Muñoz Perera '
Introducción a las apuestas de juego no transitivas para magos, por Bruce Carlley. Este es el ÚNICO libro sobre este tema.

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