Intransitividad

En matemáticas , la intransitividad (a veces llamada no transitividad ) es una propiedad de las relaciones binarias que no son relaciones transitivas . Es decir, podemos encontrar tres valores${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$donde no se cumple la condición transitiva.

La antitransitividad es una propiedad más fuerte que describe una relación en la que, para cualesquiera tres valores, la condición de transitividad nunca se cumple.

Algunos autores utilizan el término intransitivo para referirse a la antitransitividad. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una relación es transitiva si, siempre que relaciona algún A con algún B, y ese B con algún C, también relaciona ese A con ese C. Una relación es intransitiva si no es transitiva. Suponiendo que la relación se llama${\displaystyle R}$, es intransitivo si:

$${\displaystyle \lnot \left(\forall a,b,c:aRb\land bRc\implies aRc\right).}$$

Esta afirmación es equivalente a $${\displaystyle \exists a,b,c:aRb\land bRc\land \lnot (aRc).}$$

Por ejemplo, la relación de desigualdad,${\displaystyle \neq }$es intransitivo. Esto se puede demostrar reemplazando${\displaystyle R}$con${\displaystyle \neq }$y elegir${\displaystyle a=1}$,${\displaystyle b=2}$, y${\displaystyle c=1}$. Tenemos${\displaystyle 1\neq 2}$y${\displaystyle 2\neq 1}$y no es cierto que${\displaystyle 1\neq 1}$.

Nótese que, para que una relación sea intransitiva, la condición de transitividad simplemente tiene que no ser verdadera en algún punto.${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$. Todavía puede ser válido para otros. Por ejemplo, es válido cuando${\displaystyle a=1}$,${\displaystyle b=2}$, y${\displaystyle c=3}$, entonces${\displaystyle 1\neq 2}$y${\displaystyle 2\neq 3}$y es cierto que${\displaystyle 1\neq 3}$.

Para un ejemplo más complejo de intransitividad, consideremos la relación R sobre los enteros tal que a R b si y solo si a es múltiplo de b o divisor de b . Esta relación es intransitiva ya que, por ejemplo, 2 R 6 (2 es divisor de 6) y 6 R 3 (6 es múltiplo de 3), pero 2 no es ni múltiplo ni divisor de 3. Esto no implica que la relación sea antitransitiva (véase más adelante); por ejemplo, 2 R 6, 6 R 12 y 2 R 12 también.

Un ejemplo en biología proviene de la cadena alimentaria . Los lobos se alimentan de ciervos, y los ciervos se alimentan de hierba, pero los lobos no se alimentan de hierba. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, la relación de alimentación entre las formas de vida es intransitiva, en este sentido.

La antitransitividad de una relación indica que la condición transitiva no se cumple para cualesquiera tres valores.

En el ejemplo anterior, la relación de alimentación no es transitiva, pero aún contiene cierta transitividad: por ejemplo, los humanos se alimentan de conejos, los conejos se alimentan de zanahorias y los humanos también se alimentan de zanahorias.

Una relación es antitransitiva si esto nunca ocurre en absoluto. La definición formal es: $${\displaystyle \forall a,b,c:aRb\land bRc\implies \lnot (aRc).}$$

Por ejemplo, la relación R sobre los números enteros, tal que a R b si y solo si a + b es impar, es antitransitiva. Si a R b y b R c , entonces o bien a y c son ambos impares y b es par, o viceversa. En ambos casos, a + c es par.

Un segundo ejemplo de relación antitransitiva: la relación de derrota en los torneos eliminatorios . Si el jugador A derrotó al jugador B y el jugador B derrotó al jugador C, A nunca puede haber jugado contra C y, por lo tanto, A no ha derrotado a C.

Por transposición , cada una de las siguientes fórmulas es equivalente a la antitransitividad de R : $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,b,c:aRb\land aRc\implies \lnot (bRc)\\[3pt]&\forall a,b,c:aRc\land bRc\implies \lnot (aRb)\end{aligned}}}$$

El término intransitividad se usa a menudo al hablar de escenarios en los que una relación describe las preferencias relativas entre pares de opciones, y al sopesar varias opciones se produce un "bucle" de preferencia:

• Se prefiere A a B.
• Se prefiere B a C.
• Se prefiere C a A

Piedra, papel o tijera ; dados intransitivos ; y el juego de Penney son ejemplos. Las relaciones combativas reales de especies competidoras, ^{[ 5 ]} las estrategias de animales individuales, ^{[ 6 ]} y las peleas de vehículos controlados a distancia en los programas BattleBots ("darwinismo robótico") ^{[ 7 ]} también pueden ser cíclicas.

Suponiendo que ninguna opción se prefiere a sí misma, es decir, que la relación es irreflexiva , una relación de preferencia con un bucle no es transitiva. Porque si lo fuera, cada opción en el bucle se preferiría a todas las demás, incluida ella misma. Esto se puede ilustrar con este ejemplo de un bucle entre A, B y C. Supongamos que la relación es transitiva. Entonces, como A se prefiere a B y B se prefiere a C, también A se prefiere a C. Pero entonces, como C se prefiere a A, también A se prefiere a A.

Por lo tanto, dicho bucle de preferencia (o ciclo ) se conoce como intransitividad .

Nótese que un ciclo no es ni necesario ni suficiente para que una relación binaria no sea transitiva. Por ejemplo, una relación de equivalencia posee ciclos, pero es transitiva. Ahora bien, consideremos la relación "es enemigo de" y supongamos que es simétrica y satisface la condición de que, para cualquier país, cualquier enemigo de un enemigo de ese país no es a su vez enemigo de ese país. Este es un ejemplo de una relación antitransitiva que no tiene ciclos. En particular, por ser antitransitiva, la relación no es transitiva.

El juego de piedra, papel o tijera es un ejemplo. La relación entre piedra, papel y tijera es "derrota", y las reglas estándar del juego establecen que la piedra vence a las tijeras, las tijeras vencen al papel y el papel vence a la piedra. Además, también es cierto que las tijeras no vencen a la piedra, el papel no vence a las tijeras y la piedra no vence al papel. Finalmente, también es cierto que ninguna opción se derrota a sí misma. Esta información se puede representar en una tabla:

El primer argumento de la relación es una fila y el segundo una columna. Los unos indican que la relación se cumple, los ceros indican que no se cumple. Ahora bien, observe que la siguiente afirmación es verdadera para cualquier par de elementos x e y extraídos (con reemplazo) del conjunto {piedra, tijera, papel}: Si x vence a y, e y vence a z, entonces x no vence a z. Por lo tanto, la relación es antitransitiva.

Por lo tanto, un ciclo no es ni necesario ni suficiente para que una relación binaria sea antitransitiva.

• La intransitividad puede ocurrir bajo la regla de la mayoría , en los resultados probabilísticos de la teoría de juegos y en el método de votación de Condorcet en el que clasificar a varios candidatos puede producir un bucle de preferencia cuando se comparan los pesos (véase la paradoja de la votación ).
• Los dados intransitivos demuestran que la relación " el dado X obtiene un número mayor que el dado Y más de la mitad de las veces" no tiene por qué ser transitiva.
• En psicología , la intransitividad suele darse en el sistema de valores (o preferencias , o gustos ) de una persona, lo que puede dar lugar a conflictos irresolubles.
• De forma análoga, en economía la intransitividad puede manifestarse en las preferencias del consumidor . Esto puede dar lugar a comportamientos del consumidor que no se ajustan a la racionalidad económica perfecta . Economistas y filósofos se han preguntado si las violaciones de la transitividad conducen necesariamente a un «comportamiento irracional» (véase Anand (1993)).

Se ha sugerido que el método de votación de Condorcet tiende a eliminar los "bucles intransitivos" cuando participa un gran número de votantes, ya que los criterios generales de evaluación se equilibran. Por ejemplo, los votantes pueden preferir a los candidatos según diferentes criterios, como el grado de conciencia social o el grado de conservadurismo fiscal.

En tales casos, la intransitividad se reduce a una ecuación más amplia que relaciona el número de personas con la ponderación de sus unidades de medida a la hora de evaluar a los candidatos.

Como:

• El 30% está a favor de una ponderación de 60/40 entre la conciencia social y el conservadurismo fiscal.
• El 50% está a favor de una ponderación equitativa entre la conciencia social y el conservadurismo fiscal.
• El 20% está a favor de una ponderación de 40/60 entre la conciencia social y el conservadurismo fiscal.

Si bien cada votante puede no evaluar las unidades de medida de la misma manera, la tendencia se convierte entonces en un único vector en el que el consenso coincide en que existe un equilibrio preferido entre los criterios de los candidatos.

• Anand, P (1993). Fundamentos de la elección racional bajo riesgo . Oxford: Oxford University Press..
• Bar-Hillel, M., & Margalit, A. (1988). ¿Cuán viciosos son los ciclos de elección intransitiva? Theory and Decision, 24 (2), 119-145.
• Klimenko, Alexander Y. (2014). "Complejidad e intransitividad en el desarrollo tecnológico" (PDF) . Journal of Systems Science and Systems Engineering . 23 (2): 128– 152. doi : 10.1007/s11518-014-5245-x . S2CID 59390606 . 
• Klimenko, Alexander (2015). "Intransitividad en la teoría y en el mundo real" . Entropía . 17 (12): 4364– 4412. arXiv : 1507.03169 . Bibcode : 2015Entrp..17.4364K . doi : 10.3390/e17064364 .