Masa invariante

La masa invariante , masa en reposo , masa intrínseca , masa propia o, en el caso de sistemas ligados, simplemente masa , es la porción de la masa total de un objeto o sistema de objetos que es independiente del movimiento global del sistema. Más precisamente, es una característica de la energía y el momento totales del sistema que es la misma en todos los sistemas de referencia relacionados por transformaciones de Lorentz . ^{[ 1 ]} Si existe un sistema de referencia del centro de momento para el sistema , entonces la masa invariante de un sistema es igual a su masa total en ese " sistema de referencia en reposo ". En otros sistemas de referencia, donde el momento del sistema es distinto de cero, la masa total (también llamada masa relativista ) del sistema es mayor que la masa invariante, pero la masa invariante permanece invariable.

Debido a la equivalencia masa-energía , la energía en reposo del sistema es simplemente la masa invariante multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado. De manera similar, la energía total del sistema es su masa total (relativista) multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado.

Los sistemas cuyo cuadrimomento es un vector nulo , un vector similar a la luz dentro del contexto del espacio de Minkowski (por ejemplo, un solo fotón o muchos fotones moviéndose exactamente en la misma dirección) tienen masa invariante cero y se denominan sin masa . Un objeto físico o partícula que se mueva más rápido que la velocidad de la luz tendría cuadrimomentos de tipo espacial (como el taquión hipotético ), y estos no parecen existir. Cualquier cuadrimomento de tipo temporal posee un sistema de referencia donde el momento (tridimensional) es cero, que es un sistema de referencia del centro de momento. En este caso, la masa invariante es positiva y se denomina masa en reposo.

Si los objetos dentro de un sistema están en movimiento relativo, la masa invariante del sistema completo será diferente de la suma de las masas en reposo de los objetos. Esta masa también es igual a la energía total del sistema dividida por ^c². Véase la equivalencia masa-energía para una discusión sobre las definiciones de masa. Dado que la masa de los sistemas debe medirse con una balanza en un sistema de referencia del centro de momento en el que todo el sistema tiene momento cero, dicha balanza siempre mide la masa invariante del sistema. Por ejemplo, una balanza mediría la energía cinética de las moléculas en una botella de gas como parte de la masa invariante de la botella y, por lo tanto, también de su masa en reposo. Lo mismo ocurre con las partículas sin masa en dicho sistema, que añaden masa invariante y también masa en reposo a los sistemas, según su energía.

Para un sistema masivo aislado, el centro de masa se mueve en línea recta con una velocidad sublumínica constante (que depende del sistema de referencia utilizado para observarlo). Por lo tanto, siempre se puede colocar a un observador para que se mueva con él. En este sistema, que es el sistema de referencia del centro de momento, el momento total es cero, y el sistema en su conjunto puede considerarse "en reposo" si se trata de un sistema ligado (como una botella de gas). En este sistema, que existe bajo estas suposiciones, la masa invariante del sistema es igual a la energía total del sistema (en el sistema de referencia de momento cero) dividida por $c² .$ Esta energía total en el sistema de referencia del centro de momento es la energía mínima que se puede observar que tiene el sistema, cuando es visto por diversos observadores desde diferentes sistemas de referencia inerciales.

Cabe señalar que, por las razones expuestas anteriormente, no existe un sistema de referencia en reposo para fotones individuales , es decir, rayos de luz que se mueven en una sola dirección. Sin embargo, cuando dos o más fotones se mueven en direcciones diferentes, existe un sistema de referencia del centro de masas (o "sistema de referencia en reposo" si el sistema está ligado). Por lo tanto, la masa de un sistema de varios fotones que se mueven en direcciones diferentes es positiva, lo que significa que existe una masa invariante para este sistema, aunque no exista para cada fotón individualmente.

Suma de masas en reposo

La masa invariante de un sistema incluye la masa de cualquier energía cinética de sus constituyentes que permanece en el sistema de referencia del centro de momento, por lo que la masa invariante de un sistema puede ser mayor que la suma de las masas invariantes (masas en reposo) de sus constituyentes individuales. Por ejemplo, la masa en reposo y la masa invariante son cero para los fotones individuales, aunque estos puedan añadir masa a la masa invariante de los sistemas. Por esta razón, la masa invariante generalmente no es una magnitud aditiva (si bien existen algunas situaciones excepcionales en las que sí lo es, como cuando las partículas masivas de un sistema sin energía potencial o cinética pueden sumarse a una masa total).

Consideremos el caso simple de un sistema de dos cuerpos, donde el objeto A se mueve hacia otro objeto B que inicialmente está en reposo (en cualquier sistema de referencia). La magnitud de la masa invariante de este sistema de dos cuerpos (véase la definición a continuación) es diferente de la suma de sus masas en reposo (es decir, sus respectivas masas cuando están estacionarias). Incluso si consideramos el mismo sistema desde el sistema de referencia del centro de masas, donde el momento neto es cero, la magnitud de la masa invariante del sistema no es igual a la suma de las masas en reposo de las partículas que lo componen.

La energía cinética de dichas partículas y la energía potencial de los campos de fuerza aumentan la energía total por encima de la suma de las masas en reposo de las partículas, y ambos términos contribuyen a la masa invariante del sistema. La suma de las energías cinéticas de las partículas, calculada por un observador, es mínima en el sistema de referencia del centro de momento (denominado también "sistema de referencia en reposo" si el sistema está ligado).

A menudo también interactuarán a través de una o más de las fuerzas fundamentales , lo que les otorga una energía potencial de interacción, posiblemente negativa .

Tal como se define en la física de partículas

En física de partículas , la masa invariante $m 0$ es igual a la masa en el sistema de referencia en reposo de la partícula, y puede calcularse a partir de la energía $E$ de la partícula y su momento $p$ medido en cualquier sistema de referencia, mediante la relación energía-momento : $m_{0}^{2}c^{2}=\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}$ o, en unidades naturales donde $c = 1$ , $m_{0}^{2}=E^{2}-\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}.$

La masa invariante es la misma en todos los sistemas de referencia (véase también la relatividad especial ). Las ecuaciones anteriores implican que la masa invariante es la longitud pseudoeuclidiana del cuadrivector $(E, p)$ , calculada mediante la versión relativista del teorema de Pitágoras, que tiene un signo diferente para las dimensiones espacial y temporal. Esta longitud se conserva bajo cualquier transformación de Lorentz o rotación en cuatro dimensiones, al igual que la longitud ordinaria de un vector se conserva bajo rotaciones. En teoría cuántica, la masa invariante es un parámetro en la ecuación de Dirac relativista para una partícula elemental. El operador cuántico de Dirac corresponde al vector de cuadrimomento de la partícula.

Dado que la masa invariante se determina a partir de cantidades que se conservan durante una desintegración , la masa invariante calculada utilizando la energía y el momento de los productos de desintegración de una sola partícula es igual a la masa de la partícula que se desintegró. La masa de un sistema de partículas se puede calcular a partir de la fórmula general: $\left(Wc^{2}\right)^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} c\right\|^{2},$ dónde

$W$ es la masa invariante del sistema de partículas, igual a la masa de la partícula de desintegración.
${\textstyle \sum E}$ es la suma de las energías de las partículas
${\textstyle \sum \mathbf {p} }$ es la suma vectorial del momento de las partículas (incluye tanto la magnitud como la dirección de los momentos).

El término masa invariante también se utiliza en experimentos de dispersión inelástica . Dada una reacción inelástica con una energía total incidente mayor que la energía total detectada (es decir, no todas las partículas salientes se detectan en el experimento), la masa invariante (también conocida como "masa faltante") $W$ de la reacción se define de la siguiente manera (en unidades naturales): $W^{2}=\left(\sum E_{\text{in}}-\sum E_{\text{out}}\right)^{2}-\left\|\sum \mathbf {p} _{\text{in}}-\sum \mathbf {p} _{\text{out}}\right\|^{2}.$

Si existe una partícula dominante que no fue detectada durante un experimento, un gráfico de la masa invariante mostrará un pico pronunciado en la masa de la partícula faltante.

En aquellos casos en los que no se puede medir el momento lineal en una dirección (es decir, en el caso de un neutrino, cuya presencia solo se infiere a partir de la energía faltante ), se utiliza la masa transversal .

Ejemplo: colisión de dos partículas

En una colisión de dos partículas (o una desintegración de dos partículas), el cuadrado de la masa invariante (en unidades naturales ) es ${\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\right\|^{2}\\&=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2\left(E_{1}E_{2}-\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}\right).\end{aligned}}$

partículas sin masa

La masa invariante de un sistema formado por dos partículas sin masa cuyos momentos forman un ángulo $\theta$ tiene una expresión conveniente: ${\begin{aligned}M^{2}&=(E_{1}+E_{2})^{2}-\left\|{\textbf {p}}_{1}+{\textbf {p}}_{2}\right\|^{2}\\&=[(p_{1},0,0,p_{1})+(p_{2},0,p_{2}\sin \theta ,p_{2}\cos \theta )]^{2}\\&=(p_{1}+p_{2})^{2}-p_{2}^{2}\sin ^{2}\theta -(p_{1}+p_{2}\cos \theta )^{2}\\&=2p_{1}p_{2}(1-\cos \theta ).\end{aligned}}$

experimentos en colisionadores

En los experimentos con colisionadores de partículas, a menudo se define la posición angular de una partícula en términos de un ángulo azimutal. $\phi$ y pseudorapidez $\eta$ . Además, el momento transversal, $p_{T}$ , se suele medir. En este caso, si las partículas no tienen masa o son altamente relativistas ( $E\gg m$ ) entonces la masa invariante se convierte en: $M^{2}=2p_{T1}p_{T2}(\cosh(\eta _{1}-\eta _{2})-\cos(\phi _{1}-\phi _{2})).$

Energía de descanso

La energía en reposo (también llamada energía de masa en reposo ) es la energía asociada a la masa invariante de una partícula. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

El resto de energía $E_{0}$ de una partícula se define como: $E_{0}=m_{0}c^{2},$ dónde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} En general, solo las diferencias de energía tienen significado físico. ^{[ 5 ]}

El concepto de energía en reposo se deriva de la teoría especial de la relatividad, que conduce a la famosa conclusión de Einstein sobre la equivalencia entre energía y masa. Véase Relatividad especial § Dinámica relativista e invariancia .

Véase también

Referencias

Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). La teoría clásica de campos: 4.ª edición revisada en inglés: Curso de física teórica, vol. 2. Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks y leptones: Un curso introductorio de física de partículas moderna . John Wiley & Sons . ISBN 0-471-88741-2.

Citas

↑ Lawrence S. Lerner. Física para científicos e ingenieros, Volumen 2, página 1073. 1997.
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↑ Phillip L. Reu (marzo de 2007). Desarrollo del velocímetro electrónico Doppler: teoría (PDF) (Informe). Laboratorios Nacionales Sandia. SAND2006-6063. Archivado del original (PDF) el 23 de junio de 2015.
↑ Modell, Michael; Reid, Robert C. (1974). Termodinámica y sus aplicaciones . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall . ISBN 0-13-914861-2.

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[4] Phillip L. Reu (marzo de 2007). Desarrollo del velocímetro electrónico Doppler: teoría (PDF) (Informe). Laboratorios Nacionales Sandia. SAND2006-6063. Archivado del original (PDF) el 23 de junio de 2015.

[5] Modell, Michael; Reid, Robert C. (1974). Termodinámica y sus aplicaciones . Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall . ISBN 0-13-914861-2.

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