Introducción a la geometría tropical

Introducción a la geometría tropical es un libro sobre geometría tropical , escrito por Diane Maclagan y Bernd Sturmfels . Fue publicado por la Sociedad Matemática Estadounidense en 2015 como el volumen 161 de Estudios de posgrado en matemáticas .

El semianillo tropical es una estructura algebraica sobre los números reales en la que la suma toma el lugar usual de la multiplicación, y la minimización toma el lugar usual de la suma. ^{[ 1 ]} Esta combinación de las dos operaciones de suma y minimización surge naturalmente, por ejemplo, en el problema del camino más corto , donde la concatenación de caminos hace que sus distancias se sumen y donde el más corto de dos caminos paralelos es el de longitud mínima, y ​​donde algunos algoritmos de camino más corto pueden interpretarse como multiplicación de matrices tropicales . ^{[ 2 ]} La geometría tropical aplica la maquinaria de la geometría algebraica a este sistema definiendo polinomios usando suma y minimización en lugar de multiplicación y suma (produciendo funciones lineales a trozos ), y estudiando las "raíces" de estos polinomios, los puntos de ruptura donde no son lineales. ^{[ 1 ]} El campo recibe su nombre del hogar adoptivo brasileño de uno de sus investigadores pioneros, Imre Simon . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Aunque trabajos anteriores en el área lo han estudiado mediante métodos de combinatoria enumerativa , este libro se centra en cálculos explícitos relacionados con la tropicalización de variedades clásicas. ^{[ 2 ] [ 4 ]} Si bien es mucho más completo que los dos libros introductorios anteriores en esta área de Itenberg et al., ^{[ 3 ]} algunos temas de geometría tropical se omiten (deliberadamente), incluyendo la geometría enumerativa y la simetría especular . ^{[ 4 ]}

El libro consta de seis capítulos. Primero introduce el tema y ofrece una visión general de algunos resultados importantes, tras lo cual el segundo capítulo proporciona información básica sobre cuerpos ordenados no arquimedianos , variedades algebraicas , politopos convexos y bases de Gröbner . El capítulo tres trata sobre variedades tropicales, definidas de diversas maneras, correspondencias entre variedades clásicas y sus tropicalizaciones, el "Teorema Fundamental de la Geometría Tropical" que demuestra la equivalencia de estas definiciones y la teoría de la intersección tropical . El capítulo cuatro estudia las conexiones tropicales con la Grassmanniana , la unión de vecinos en el espacio de árboles métricos y los matroides . El capítulo cinco considera análogos tropicales de algunos conceptos importantes del álgebra lineal , y el capítulo seis conecta las variedades tropicales con las variedades tóricas y la geometría poliédrica. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Este libro está escrito como un libro de texto, con problemas que ponen a prueba la comprensión del material por parte de los lectores. ^{[ 1 ] [ 3 ]} El crítico Patrick Popescu-Pampu afirma que, aunque se trata de una serie de libros de nivel de posgrado, los estudiantes de pregrado con una base suficiente en geometría algebraica deberían poder acceder a él. ^{[ 3 ]} El crítico Felipe Zaldivar escribe que «hace que el tema sea accesible y agradable» y constituye «una hermosa adición» a su serie de libros. ^{[ 1 ]} El crítico Michael Joswig concluye que Introducción a la Geometría Tropical «se convertirá en una referencia estándar en el campo durante los próximos años». ^{[ 4 ]}

• Elizabeth Kelley, 2020. El teorema fundamental de la geometría tropical . Introducción didáctica al enunciado del teorema siguiendo el tratamiento de Maclagan y Sturmfels, con énfasis en el álgebra conmutativa .