Factorización invariante de LPDO

La factorización de un operador diferencial parcial lineal (ODPL) es un tema importante en la teoría de la integrabilidad, debido a las transformaciones de Laplace-Darboux ^{[ 1 ]} , que permiten la construcción de ecuaciones diferenciales parciales lineales integrables. Laplace resolvió el problema de factorización para un operador hiperbólico bivariado de segundo orden (véase Ecuación diferencial parcial hiperbólica ), construyendo dos invariantes de Laplace. Cada invariante de Laplace es una condición polinómica explícita de factorización; los coeficientes de este polinomio son funciones explícitas de los coeficientes del ODPL inicial. Las condiciones polinómicas de factorización se denominan invariantes porque tienen la misma forma para operadores equivalentes (es decir, autoadjuntos).

La factorización de Beals-Kartashova (también llamada factorización BK) es un procedimiento constructivo para factorizar un operador bivariado de orden y forma arbitrarios . Correspondientemente, las condiciones de factorización en este caso también tienen forma polinómica, son invariantes y coinciden con los invariantes de Laplace para operadores hiperbólicos bivariados de segundo orden. El procedimiento de factorización es puramente algebraico; el número de factorizaciones posibles depende del número de raíces simples del polinomio característico (también llamado símbolo) del LPDO inicial y de los LPDO reducidos que aparecen en cada paso de factorización. A continuación se describe el procedimiento de factorización para un operador bivariado de forma arbitraria, de orden 2 y 3. Fórmulas de factorización explícitas para un operador de orden${\displaystyle n}$se puede encontrar en ^{[ 2 ]} Los invariantes generales se definen en ^{[ 3 ]} y la formulación invariante de la factorización de Beals-Kartashova se da en ^{[ 4 ]}

Definición Los operadores${\displaystyle {\mathcal {A}}}$,${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$Se consideran equivalentes si existe una transformación de calibre que transforma una en la otra:

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}g=e^{-\varphi }{\mathcal {A}}(e^{\varphi }g).}$

La factorización BK es, por lo tanto, un procedimiento puramente algebraico que permite construir explícitamente una factorización de un LPDO de orden arbitrario.${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$ en la forma

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{j+k\leq n}a_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}={\mathcal {L}}\circ \sum _{j+k\leq (n-1)}p_{jk}\partial _{x}^{j}\partial _{y}^{k}}$

con operador de primer orden${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{x}-\omega \partial _{y}+p}$dónde${\displaystyle \omega }$es una raíz simple arbitraria del polinomio característico

${\displaystyle {\mathcal {P}}(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{n-k,k}t^{n-k},\quad {\mathcal {P}}(\omega )=0.}$

La factorización es posible entonces para cada raíz simple.${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$si y solo si

para${\displaystyle n=2\ \ \rightarrow l_{2}=0,}$

para${\displaystyle n=3\ \ \rightarrow l_{3}=0,l_{31}=0,}$

para${\displaystyle n=4\ \ \rightarrow l_{4}=0,l_{41}=0,l_{42}=0,}$

y así sucesivamente. Todas las funciones${\displaystyle l_{2},l_{3},l_{31},l_{4},l_{41},\ \ l_{42},...}$son funciones conocidas, por ejemplo,

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},}$

${\displaystyle l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},}$

${\displaystyle l_{31}=a_{01}-{\mathcal {L}}(p_{8})+p_{3}p_{8}+p_{2}p_{9},}$

etcétera.

Teorema Todas las funciones

${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},....}$

son invariantes bajo transformaciones de gauge.

Invariantes de definición${\displaystyle l_{2}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{6})+p_{3}p_{6},l_{3}=a_{00}-{\mathcal {L}}(p_{9})+p_{3}p_{9},l_{31},.....}$Se denominan invariantes generalizados de un operador bivariado de orden arbitrario.

En el caso particular del operador hiperbólico bivariado, sus invariantes generalizados coinciden con los invariantes de Laplace (véase invariante de Laplace ).

Corolario Si un operador${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$Si un operador es factorizable, entonces todos los operadores equivalentes también lo son.

Los operadores equivalentes son fáciles de calcular:

${\displaystyle e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }=\partial _{x}+\varphi _{x},\quad e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=\partial _{y}+\varphi _{y},}$

${\displaystyle e^{-\varphi }\partial _{x}\partial _{y}e^{\varphi }=e^{-\varphi }\partial _{x}e^{\varphi }e^{-\varphi }\partial _{y}e^{\varphi }=(\partial _{x}+\varphi _{x})\circ (\partial _{y}+\varphi _{y})}$

y así sucesivamente. A continuación se muestran algunos ejemplos:

${\displaystyle A_{1}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+1=\partial _{x}(\partial _{y}+x),\quad l_{2}(A_{1})=1-1-0=0;}$

${\displaystyle A_{2}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+\partial _{y}+x+1,\quad A_{2}=e^{-x}A_{1}e^{x};\quad l_{2}(A_{2})=(x+1)-1-x=0;}$

${\displaystyle A_{3}=\partial _{x}\partial _{y}+2x\partial _{x}+(y+1)\partial _{y}+2(xy+x+1),\quad A_{3}=e^{-xy}A_{2}e^{xy};\quad l_{2}(A_{3})=2(x+1+xy)-2-2x(y+1)=0;}$

${\displaystyle A_{4}=\partial _{x}\partial _{y}+x\partial _{x}+(\cos x+1)\partial _{y}+x\cos x+x+1,\quad A_{4}=e^{-\sin x}A_{2}e^{\sin x};\quad l_{2}(A_{4})=0.}$

La factorización de un operador es el primer paso para resolver la ecuación correspondiente. Sin embargo, para la solución necesitamos factores derechos , y la factorización BK genera factores izquierdos que son fáciles de construir. Por otro lado, la existencia de un factor derecho de un operador LPDO equivale a la existencia de un factor izquierdo correspondiente de la transpuesta de dicho operador.

Definición La transpuesta${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}}$de un operador ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum a_{\alpha }\partial ^{\alpha },\qquad \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{n}^{\alpha _{n}}.}$ se define como ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}u=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }(a_{\alpha }u).}$ y la identidad ${\displaystyle \partial ^{\gamma }(uv)=\sum {\binom {\gamma }{\alpha }}\partial ^{\alpha }u,\partial ^{\gamma -\alpha }v}$ implica que ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}=\sum (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}(\partial ^{\beta }a_{\alpha +\beta })\partial ^{\alpha }.}$

Ahora los coeficientes son

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{t}=\sum {\tilde {a}}_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$${\displaystyle {\tilde {a}}_{\alpha }=\sum (-1)^{|\alpha +\beta |}{\binom {\alpha +\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta }(a_{\alpha +\beta }).}$

con una convención estándar para coeficientes binomiales en varias variables (véase Coeficiente binomial ), por ejemplo, en dos variables.

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {(\alpha _{1},\alpha _{2})}{(\beta _{1},\beta _{2})}}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}\,{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}.}$

En particular, para el operador${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$Los coeficientes son ${\displaystyle {\tilde {a}}_{jk}=a_{jk},\quad j+k=2;{\tilde {a}}_{10}=-a_{10}+2\partial _{x}a_{20}+\partial _{y}a_{11},{\tilde {a}}_{01}=-a_{01}+\partial _{x}a_{11}+2\partial _{y}a_{02},}$

${\displaystyle {\tilde {a}}_{00}=a_{00}-\partial _{x}a_{10}-\partial _{y}a_{01}+\partial _{x}^{2}a_{20}+\partial _{x}\partial _{x}a_{11}+\partial _{y}^{2}a_{02}.}$

Por ejemplo, el operador

${\displaystyle \partial _{xx}-\partial _{yy}+y\partial _{x}+x\partial _{y}+{\frac {1}{4}}(y^{2}-x^{2})-1}$

es factorizable como

${\displaystyle {\big [}\partial _{x}+\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y-x){\big ]}\,{\big [}...{\big ]}}$

y su transposición${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}^{t}}$ es factorizable entonces como ${\displaystyle {\big [}...{\big ]}\,{\big [}\partial _{x}-\partial _{y}+{\tfrac {1}{2}}(y+x){\big ]}.}$

• Derivada parcial
• Invariante (matemáticas)
• Teoría invariante
• Polinomio característico

• J. Weiss. Transformación de Bäcklund y propiedad Painlevé.J. Math. Phys. 27 , 1293-1305 (1986).
• R. Beals, E. Kartashova. Factorización constructiva de operadores diferenciales parciales lineales en dos variables. Theor. Math. Phys. 145 (2), pp. 1510-1523 (2005)
• E. Kartashova. Una jerarquía de invariantes generalizados para operadores diferenciales parciales lineales. Theor. Math. Phys. 147 (3), pp. 839-846 (2006)
• E. Kartashova, O. Rudenko. Forma invariante de la factorización BK y sus aplicaciones. Actas de GIFT-2006, págs.  225–241, Eds.: J. Calmet, RW Tucker, Karlsruhe University Press (2006); arXiv