Problema del subespacio invariante

{\displaystyle x} — El vector $x$ es un vector propio de la matriz $A$ Todo operador en un espacio vectorial complejo no trivial de dimensión finita tiene un vector propio que resuelve el problema del subespacio invariante para estos espacios.

En el campo de las matemáticas conocido como análisis funcional , el problema del subespacio invariante es un problema parcialmente sin resolver que plantea si todo operador acotado en un espacio de Banach complejo genera algún subespacio cerrado no trivial en sí mismo. Se han resuelto muchas variantes del problema, restringiendo la clase de operadores acotados considerados o especificando una clase particular de espacios de Banach. El problema sigue abierto para espacios de Hilbert separables (es decir, cada ejemplo encontrado hasta ahora de un operador sin subespacios invariantes no triviales es un operador que actúa sobre un espacio de Banach que no es isomorfo a un espacio de Hilbert separable).

Historia

El problema parece haber sido planteado a mediados del siglo XX después del trabajo de Beurling y von Neumann , ^{[ 1 ]} quienes encontraron (pero nunca publicaron) una solución positiva para el caso de operadores compactos . Luego fue planteado por Paul Halmos para el caso de operadores $T$ de tal manera que $T^{2}$ es compacto. Esto se resolvió afirmativamente para la clase más general de operadores polinomialmente compactos (operadores $T$ de tal manera que $p(T)$ es un operador compacto para un polinomio no nulo elegido adecuadamente $p$ ), por Allen R. Bernstein y Abraham Robinson en 1966 (véase Análisis no estándar § Problema del subespacio invariante para un resumen de la demostración).

Para los espacios de Banach , el primer ejemplo de un operador sin subespacio invariante fue construido por Per Enflo . En 1975 propuso un contraejemplo al problema del subespacio invariante, publicando un resumen en 1976. Enflo presentó el artículo completo en 1981, pero su complejidad y extensión retrasaron su publicación hasta 1987. ^{[ 2 ]} El extenso manuscrito de Enflo tuvo una amplia difusión entre los matemáticos ^{[ 1 ]} y algunas de sus ideas fueron descritas en publicaciones distintas a la de Enflo (1976). ^{[ 3 ]} Los trabajos de Enflo inspiraron una construcción similar de un operador sin subespacio invariante, por ejemplo, por Bernard Beauzamy , quien reconoció las ideas de Enflo. ^{[ 2 ]}

En la década de 1990, Enflo desarrolló un enfoque "constructivo" para el problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert. ^{[ 4 ]}

En mayo de 2023, apareció en arXiv una preimpresión de Enflo, ^{[ 5 ]} que, de ser correcta, resuelve el problema para espacios de Hilbert y completa el panorama.

En julio de 2023, apareció en arXiv un segundo preimpreso independiente de Neville, ^{[ 6 ]} que afirmaba la solución del problema para espacios de Hilbert separables.

Declaración precisa

Formalmente, el problema del subespacio invariante para un espacio de Banach complejo $H$ de dimensión > 1 es la cuestión de si todo operador lineal acotado $T:H\to H$ tiene un cierre no trivial $T$ -subespacio invariante : un subespacio lineal cerrado $W$ de $H$ , que es diferente de $\{0\}$ y de $H$ , de tal manera que $T(W)\subset W$ .

Una respuesta negativa al problema está estrechamente relacionada con las propiedades de las órbitas. $T$ . Si $x$ es un elemento del espacio Banach $H$ , la órbita de $x$ bajo la acción de $T$ , denotado por $[x]$ , es el subespacio generado por la secuencia $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ Esto también se llama el $T$ -subespacio cíclico generado por $x$ De la definición se deduce que $[x]$ es un $T$ subespacio invariante. Además, es el mínimo $T$ -subespacio invariante que contiene $x$ : si $W$ es otro subespacio invariante que contiene $x$ , entonces necesariamente $T^{n}(x)\in W$ a pesar de $n\geq 0$ (desde $W$ es $T$ -invariante), y por lo tanto $[x]\subset W$ . Si $x$ es distinto de cero, entonces $[x]$ no es igual a $\{0\}$ , por lo que su cierre es todo el espacio $H$ (en cuyo caso $x$ Se dice que es un vector cíclico para $T$ ) o es algo no trivial $T$ -subespacio invariante. Por lo tanto, un contraejemplo al problema del subespacio invariante sería un espacio de Banach. $H$ y un operador acotado $T:H\to H$ para el cual cada vector distinto de cero $x\in H$ es un vector cíclico para $T$ . (Donde un "vector cíclico" $x$ para un operador $T$ en un espacio Banach $H$ significa uno para el cual la órbita $[x]$ de $x$ es denso en $H$ .)

Casos especiales conocidos

Si bien el caso del problema del subespacio invariante para espacios de Hilbert separables aún está abierto, se han resuelto varios otros casos para espacios vectoriales topológicos (sobre el campo de los números complejos):

En los espacios vectoriales complejos de dimensión finita, todo operador admite un vector propio, por lo que tiene un subespacio invariante unidimensional.
La conjetura es verdadera si el espacio de Hilbert $H$ no es separable (es decir, si tiene una base ortonormal no numerable ). De hecho, si $x$ es un vector distinto de cero en $H$ , el cierre de norma de la órbita lineal $[x]$ es separable (por construcción) y por lo tanto un subespacio propio y también invariante.
von Neumann demostró ^{[ 7 ]} que cualquier operador compacto en un espacio de Hilbert de dimensión al menos 2 tiene un subespacio invariante no trivial.
El teorema espectral demuestra que todos los operadores normales admiten subespacios invariantes.
Aronszajn y Smith (1954) demostraron que todo operador compacto en cualquier espacio de Banach de dimensión al menos 2 tiene un subespacio invariante.
Bernstein y Robinson (1966) demostraron, utilizando un análisis no estándar , que si el operador $T$ en un espacio de Hilbert es polinomialmente compacto (en otras palabras $p(T)$ es compacto para algún polinomio no nulo $p$ ) entonces $T$ tiene un subespacio invariante. Su demostración utiliza la idea original de incrustar el espacio de Hilbert de dimensión infinita en un espacio de Hilbert hiperfinito de dimensión (véase Análisis no estándar#Problema del subespacio invariante ).
Halmos (1966) , después de haber visto la preimpresión de Robinson, eliminó el análisis no estándar y proporcionó una demostración más corta en el mismo número de la misma revista.
Lomonosov (1973) dio una demostración muy breve utilizando el teorema del punto fijo de Schauder de que si el operador $T$ en un espacio de Banach conmuta con un operador compacto distinto de cero entonces $T$ tiene un subespacio invariante no trivial. Esto incluye el caso de operadores polinomialmente compactos porque un operador conmuta con cualquier polinomio en sí mismo. De manera más general, demostró que si $S$ conmuta con un operador no escalar $T$ que conmuta con un operador compacto distinto de cero, entonces $S$ tiene un subespacio invariante. ^{[ 8 ]}
El primer ejemplo de un operador en un espacio de Banach sin subespacios invariantes no triviales fue encontrado por Per Enflo ( 1976 , 1987 ) , y su ejemplo fue simplificado por Beauzamy (1985) .
El primer contraejemplo en un espacio de Banach "clásico" fue hallado por Charles Read ( 1984 , 1985 ) , quien describió un operador en el espacio de Banach clásico. $l_{1}$ sin subespacios invariantes.
Más tarde Charles Read ( 1988 ) construyó un operador en $l_{1}$ sin siquiera un subconjunto invariante cerrado no trivial , es decir, que para cada vector $x$ el conjunto $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ es denso, en cuyo caso el vector se llama hipercíclico (la diferencia con el caso de vectores cíclicos es que no estamos tomando el subespacio generado por los puntos $\{T^{n}(x)\,:\,n\geq 0\}$ en este caso).
Atzmon (1983) dio un ejemplo de un operador sin subespacios invariantes en un espacio de Fréchet nuclear .
Śliwa (2008) demostró que cualquier espacio de Banach de dimensión infinita de tipo numerable sobre un cuerpo no arquimediano admite un operador lineal acotado sin un subespacio invariante cerrado no trivial. Esto resuelve completamente la versión no arquimediana de este problema, planteada por van Rooij y Schikhof en 1992.
Argyros y Haydon (2011) dieron la construcción de un espacio de Banach de dimensión infinita tal que cada operador continuo es la suma de un operador compacto y un operador escalar, por lo que en particular cada operador tiene un subespacio invariante.

Notas

1 2 Yadav (2005) , pág. 292 .
1 2 Beauzamy (1988) ; Yadav (2005) .
↑ Véase, por ejemplo, Radjavi y Rosenthal (1982) .
↑ Página 401 en Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). "Sobre operadores cuasinilpotentes. III". Journal of Operator Theory . 54 (2): 401– 414.El método de Enflo de "vectores mínimos" ("hacia adelante") también se menciona en la reseña de este artículo de investigación realizada por Gilles Cassier en Mathematical Reviews : MR 2186363 .
↑ Enflo, Per H. (26 de mayo de 2023). "Sobre el problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert". arXiv : 2305.15442 [ math.FA ].
↑ Neville, Charles W. (21 de julio de 2023). "Una demostración de la conjetura del subespacio invariante para espacios de Hilbert separables". arXiv : 2307.08176 [ math.FA ].
↑ La demostración de Von Neumann nunca se publicó, según consta en una comunicación privada a los autores de Aronszajn y Smith (1954) . Una versión de dicha demostración, descubierta independientemente por Aronszajn, se incluye al final de ese artículo.
↑ Véase Pearcy & Shields (1974) para una reseña.

Referencias

Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002), Una invitación a la teoría de operadores , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 50, Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/gsm/050 , ISBN 978-0-8218-2146-6, MR 1921782
Argyros, Spiros A.; Haydon, Richard G. (2011), "Un espacio L _∞ hereditariamente indescomponible que resuelve el problema escalar más compacto", Acta Math. , 206 (1): 1– 54, arXiv : 0903.3921 , doi : 10.1007/s11511-011-0058-y , MR 2784662 , S2CID 119532059
Aronszajn, N.; Smith, KT (1954), "Subespacios invariantes de operadores completamente continuos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 60 (2): 345–350 , doi : 10.2307/1969637 , JSTOR 1969637 , MR 0065807
Atzmon, Aharon (1983), "Un operador sin subespacios invariantes en un espacio de Fréchet nuclear", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 117 (3): 669– 694, doi : 10.2307/2007039 , JSTOR 2007039 , MR 0701260
Beauzamy, Bernard (1985), "Un opérateur sans sous-espace invariant: simplification de l'exemple de P. Enflo" [ Un operador sin subespacio invariante: simplificación del ejemplo de P. Enflo ] , Integral Equations and Operator Theory (en francés), 8 (3): 314– 384, doi : 10.1007/BF01202903 , MR 0792905 , S2CID 121418247
Beauzamy, Bernard (1988), Introducción a la teoría de operadores y subespacios invariantes , North-Holland Mathematical Library, vol. 42, Ámsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-70521-1, SR 0967989
Bernstein, Allen R.; Robinson, Abraham (1966), "Solución de un problema de subespacio invariante de KT Smith y PR Halmos" , Pacific Journal of Mathematics , 16 (3): 421–431 , doi : 10.2140/pjm.1966.16.421 , MR 0193504
Enflo, Per (1976), "Sobre el problema del subespacio invariante en espacios de Banach", Séminaire Maurey--Schwartz (1975--1976) Espaces L ^p , aplicaciones radonifiantes et géométrie des espaces de Banach, Exp. Nos. 14-15 , Centre Math., École Polytech., Palaiseau, p. 7, SEÑOR 0473871
Enflo, Per (1987), "Sobre el problema del subespacio invariante para espacios de Banach", Acta Mathematica , 158 (3): 213–313 , doi : 10.1007/BF02392260 , MR 0892591
Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001), "Algunos aspectos del problema del subespacio invariante", Manual de geometría de espacios de Banach , vol. I, Ámsterdam: North-Holland, pp. 533–559 , doi : 10.1016/S1874-5849(01)80015-2 , ISBN 9780444828422, MR 1863701
Halmos, Paul R. (1966), "Subespacios invariantes de operadores polinomialmente compactos" , Pacific Journal of Mathematics , 16 (3): 433–437 , doi : 10.2140/pjm.1966.16.433 , MR 0193505
Lomonosov, VI (1973), "Subespacios invariantes de la familia de operadores que conmutan con un operador completamente continuo", Akademija Nauk SSSR. Funkcional' Nyi Analiz I Ego Prilozenija , 7 (3): 55– 56, doi : 10.1007/BF01080698 , MR 0420305 , S2CID 121421267
Pearcy, Carl; Shields, Allen L. (1974), "Una revisión de la técnica de Lomonosov en la teoría de subespacios invariantes", en C. Pearcy (ed.), Temas en teoría de operadores , Mathematical Surveys, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 219–229 , MR 0355639
Read, CJ (1984), "Una solución al problema del subespacio invariante", The Bulletin of the London Mathematical Society , 16 (4): 337–401 , doi : 10.1112/blms/16.4.337 , MR 0749447
Read, CJ (1985), "Una solución al problema del subespacio invariante en el espacio l ₁ ", The Bulletin of the London Mathematical Society , 17 (4): 305–317 , doi : 10.1112/blms/17.4.305 , MR 0806634
Read, CJ (1988), "El problema del subespacio invariante para una clase de espacios de Banach, 2: operadores hipercíclicos", Israel Journal of Mathematics , 63 (1): 1– 40, doi : 10.1007/BF02765019 , MR 0959046 , S2CID 123651876
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (1982), "El problema del subespacio invariante" , The Mathematical Intelligencer , 4 (1): 33–37 , doi : 10.1007/BF03022994 , MR 0678734 , S2CID 122811130
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003), Subespacios invariantes (Segunda edición), Mineola, NY: Dover, ISBN 978-0-486-42822-2, MR 2003221
Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2000), Triangularización simultánea , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, pp. xii+318, doi : 10.1007/978-1-4612-1200-3 , ISBN 978-0-387-98467-4, MR 1736065
Śliwa, Wiesław (2008), "El problema del subespacio invariante para espacios de Banach no arquimedianos" (PDF) , Canadian Mathematical Bulletin , 51 (4): 604–617 , doi : 10.4153/CMB-2008-060-9 , hdl : 10593/798 , MR 2462465 , S2CID 40430187
Yadav, BS (2005), "El estado actual y el legado del problema del subespacio invariante", Milan Journal of Mathematics , 73 (1): 289–316 , doi : 10.1007/s00032-005-0048-7 , MR 2175046 , S2CID 121068326

[Yadav,_page_292-1] 1 2 Yadav (2005) , pág. 292 .

[Beauzamy_1988;_Yadav-2] 1 2 Beauzamy (1988) ; Yadav (2005) .

[3] Véase, por ejemplo, Radjavi y Rosenthal (1982) .

[4] Página 401 en Foiaş, Ciprian; Jung, Il Bong; Ko, Eungil; Pearcy, Carl (2005). "Sobre operadores cuasinilpotentes. III". Journal of Operator Theory . 54 (2): 401– 414.El método de Enflo de "vectores mínimos" ("hacia adelante") también se menciona en la reseña de este artículo de investigación realizada por Gilles Cassier en Mathematical Reviews : MR 2186363 .

[5] Enflo, Per H. (26 de mayo de 2023). "Sobre el problema del subespacio invariante en espacios de Hilbert". arXiv : 2305.15442 [ math.FA ].

[6] Neville, Charles W. (21 de julio de 2023). "Una demostración de la conjetura del subespacio invariante para espacios de Hilbert separables". arXiv : 2307.08176 [ math.FA ].

[7] La demostración de Von Neumann nunca se publicó, según consta en una comunicación privada a los autores de Aronszajn y Smith (1954) . Una versión de dicha demostración, descubierta independientemente por Aronszajn, se incluye al final de ese artículo.

[8] Véase Pearcy & Shields (1974) para una reseña.

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