Invariante de una forma binaria

En la teoría de invariantes matemáticos , un invariante de una forma binaria es un polinomio en los coeficientes de una forma binaria en dos variables x e y que permanece invariante bajo el grupo lineal especial que actúa sobre las variables x e y .

Una forma binaria (de grado n ) es un polinomio homogéneo.${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a_{n-i}x^{n-i}y^{i}=a_{n}x^{n}+{\binom {n}{1}}a_{n-1}x^{n-1}y+\cdots +a_{0}y^{n}}$El grupo${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$actúa sobre estas formas tomando${\displaystyle x}$a${\displaystyle ax+by}$y${\displaystyle y}$a${\displaystyle cx+dy}$Esto induce una acción sobre el espacio abarcado por${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$y sobre los polinomios en estas variables. Un invariante es un polinomio en estas${\displaystyle n+1}$variables${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$que es invariante bajo esta acción. De manera más general, una covariante es un polinomio en${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$,${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$que es invariante, por lo que un invariante es un caso especial de un covariante donde las variables${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$no ocurren. De manera más general aún, un invariante simultáneo es un polinomio en los coeficientes de varias formas diferentes en${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$.

En términos de teoría de la representación , dada cualquier representación${\displaystyle V}$del grupo${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {C} )}$uno puede pedir el anillo de polinomios invariantes en${\displaystyle V}$. Invariantes de una forma binaria de grado${\displaystyle n}$corresponder a tomar${\displaystyle V}$ser el${\displaystyle (n+1)}$representación irreducible de dimensión -, y las covariantes corresponden a tomar${\displaystyle V}$ser la suma de las representaciones irreducibles de dimensiones 2 y${\displaystyle n+1}$.

Los invariantes de una forma binaria forman un álgebra graduada , y Gordan (1868) demostró que esta álgebra es finitamente generada si el cuerpo base son los números complejos .

Las formas de grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 se denominan a veces cuádricas, cúbicas, cuárticas, quínticas, sépticas o sépticas, ócticas u octavicas, nónicas y decímicas o decímicas. «Cuántico» es un nombre antiguo para una forma de grado arbitrario. Las formas en 1, 2, 3, 4, ... variables se denominan formas unarias, binarias, ternarias, cuaternarias, ...

Una forma f es en sí misma una covariante de grado 1 y orden n .

El discriminante de una forma es un invariante.

La resultante de dos formas es un invariante simultáneo de ellas.

La covariante hessiana de una forma Hilbert (1993 , p. 88) es el determinante de la matriz hessiana.

${\displaystyle H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Es una covariante de orden 2 n − 4 y grado 2.

El catalecticante es un invariante de grado n /2+1 de una forma binaria de grado par n .

El canonizante es una covariante de grado y orden ( n +1)/2 de una forma binaria de grado impar n .

El jacobino

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}\\[10pt]{\frac {\partial g}{\partial x}}&{\frac {\partial g}{\partial y}}\end{bmatrix}}}$

es una covariante simultánea de dos formas f , g .

La estructura del anillo de invariantes se ha estudiado para grados pequeños. Sylvester y Franklin (1879) proporcionaron tablas con el número de generadores de invariantes y covariantes para formas de grado hasta 10, aunque dichas tablas presentan algunos errores menores para grados grandes, principalmente cuando se omiten algunos invariantes o covariantes.

Las covariantes de una forma binaria son esencialmente las mismas que las invariantes conjuntas de una forma binaria y una forma lineal binaria . En términos más generales, se pueden solicitar las invariantes (y covariantes) conjuntas de cualquier conjunto de formas binarias. A continuación se enumeran algunos casos estudiados.

Notas:

• Los invariantes básicos de una forma lineal son esencialmente los mismos que sus covariantes básicos.
• Para dos funciones cuárticas, existen 8 invariantes básicos (3 de grado 2, 4 de grado 3 y 1 de grado 4) y 28 covariantes básicos. (Gordan propuso 30 covariantes, pero Sylvester demostró que dos de ellos son reducibles).

Múltiples formas:

• Covariantes de varias formas lineales: El anillo de invariantes de${\displaystyle n}$Las formas lineales se generan mediante${\displaystyle n(n-1)/2}$invariantes de grado 2. El anillo de covariantes de${\displaystyle n}$Las formas lineales son esencialmente lo mismo que el anillo de invariantes de${\displaystyle n+1}$formas lineales.
• Covariantes de varias formas lineales y cuadráticas:
  • El anillo de invariantes de una suma de${\displaystyle m}$formas lineales y${\displaystyle n}$Las formas cuadráticas se generan mediante${\displaystyle m(m-1)/2+n(n+1)/2}$generadores en grado 2,${\displaystyle nm(m+1)/2+n(n-1)(n-2)/6}$en el grado 3, y${\displaystyle m(m+1)n(n-1)/4}$en grado 4.
  • Para el número de generadores del anillo de covariantes, cambie${\displaystyle m}$a${\displaystyle m+1}$.
• Covariantes de muchas cúbicas o cuárticas: Véase Young (1898) .

• Cúbico ternario
• Cuártico ternario

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• Brouwer, Andries E.; Popoviciu, Mihaela (2010b), "Los invariantes del decimal binario", Journal of Symbolic Computation , 45 (8): 837–843 , arXiv : 1002.1008 , doi : 10.1016/j.jsc.2010.03.002 , ISSN 0747-7171 , MR 2657667 , S2CID 12702092   
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• Brouwer, Andries E., Invariantes de formas binarias