Problema inverso de Galois

En la teoría de Galois , el problema inverso de Galois se refiere a si todo grupo finito aparece o no como el grupo de Galois de alguna extensión de Galois de los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Este problema, planteado por primera vez a principios del siglo XIX, ^{[ 1 ]} sigue sin resolverse.

Existen algunos grupos de permutaciones para los cuales se conocen polinomios genéricos que definen todas las extensiones algebraicas de${\displaystyle \mathbb {Q} }$tener un grupo particular como grupo de Galois. Estos grupos incluyen todos los de grado no mayor que 5. También hay grupos que se sabe que no tienen polinomios genéricos, como el grupo cíclico de orden 8 .

De forma más general, sea G un grupo finito dado y K un cuerpo. Si existe un cuerpo de extensión de Galois L / K cuyo grupo de Galois es isomorfo a G , se dice que G es realizable sobre K.

Se conocen muchos casos. Se sabe que todo grupo finito es realizable sobre cualquier cuerpo de funciones en una variable sobre los números complejos.${\displaystyle \mathbb {C} }$y, más generalmente, sobre cuerpos de funciones en una variable sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Igor Shafarevich demostró que todo grupo finito resoluble es realizable sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 2 ]} También se sabe que todo grupo esporádico simple , excepto posiblemente el grupo de Mathieu M ₂₃ , es realizable sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 3 ]}

David Hilbert demostró que esta pregunta está relacionada con una cuestión de racionalidad para G :

Si K es cualquier extensión de${\displaystyle \mathbb {Q} }$sobre el cual G actúa como un grupo de automorfismos , y el campo invariante K ^G es racional sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$, entonces G es realizable sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Aquí racional significa que es una extensión puramente trascendental de${\displaystyle \mathbb {Q} }$generado por un conjunto algebraicamente independiente . Este criterio puede utilizarse, por ejemplo, para demostrar que todos los grupos simétricos son realizables.

Se ha realizado un trabajo muy detallado sobre la cuestión, que en general no está resuelta en absoluto. Parte de este trabajo se basa en la construcción geométrica de G como un recubrimiento de Galois de la recta proyectiva : en términos algebraicos, partiendo de una extensión del campo${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$de funciones racionales en un t indeterminado . Después, se aplica el teorema de irreducibilidad de Hilbert para especializar t , de manera que se preserve el grupo de Galois.

Se sabe que 4952 de los 4953 grupos de permutación transitivos de grado 23 o menos, con la excepción del grupo de Mathieu M ₂₃ , son realizables sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Hay 25000 grupos de permutación transitiva distintos de grado${\displaystyle n=24}$A junio de 2026, solo se ha demostrado que 286 de ellos son realizables.${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Se sabe que los 13 grupos simples no abelianos más pequeños que PSL(2,25) (orden 7800) son realizables sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. ^{[ 6 ]}

Es posible, utilizando resultados clásicos, construir explícitamente un polinomio cuyo grupo de Galois sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el grupo cíclico Z / n Z para cualquier entero positivo n . Para ello, elija un primo p tal que p ≡ 1 (mod n ) ; esto es posible por el teorema de Dirichlet . Sea Q ( μ ) la extensión ciclotómica de${\displaystyle \mathbb {Q} }$generado por μ , donde μ es una raíz p -ésima primitiva de la unidad ; el grupo de Galois de Q ( μ )/ Q es cíclico de orden p − 1 .

Dado que n divide a p − 1 , el grupo de Galois tiene un subgrupo cíclico H de orden ( p − 1)/ n . El teorema fundamental de la teoría de Galois implica que el campo fijo correspondiente, F = Q ( μ ) ^H , tiene un grupo de Galois Z / nZ sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$Tomando sumas apropiadas de conjugados de μ , siguiendo la construcción de períodos gaussianos , se puede encontrar un elemento α de F que genera F sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y calcular su polinomio mínimo .

Este método puede extenderse para cubrir todos los grupos abelianos finitos , ya que cada uno de estos grupos aparece de hecho como un cociente del grupo de Galois de alguna extensión ciclotómica de${\displaystyle \mathbb {Q} }$(Sin embargo, esta afirmación no debe confundirse con el teorema de Kronecker-Weber , que es mucho más profundo).

Hilbert demostró que todos los grupos simétricos y alternados se representan como grupos de Galois de polinomios con coeficientes racionales .

El polinomio x ⁿ + ax + b tiene discriminante

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

Tomamos el caso especial

f ( x , s ) = x ⁿ − sx − s .

Sustituyendo un número primo por s en f ( x , s ) se obtiene un polinomio (llamado especialización de f ( x , s ) ) que, según el criterio de Eisenstein, es irreducible . Entonces, f ( x , s ) debe ser irreducible sobre${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$Además, f ( x , s ) se puede escribir

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

y f ( x , 1/2) se puede factorizar como:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

cuyo segundo factor es irreducible (pero no según el criterio de Eisenstein). Solo el polinomio recíproco es irreducible según el criterio de Eisenstein. Ahora hemos demostrado que el grupo Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) es doblemente transitivo .

Entonces podemos encontrar que este grupo de Galois tiene una transposición. Usamos la escala (1 − n ) x = ny para obtener

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

y con

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

llegamos a:

g ( y , t ) = y ⁿ − nty + ( n − 1) t

que se puede organizar

y ^norte − y − ( norte − 1)( y − 1) + ( t − 1)(− ny + n − 1) .

Entonces g ( y , 1) tiene 1 como cero doble y sus otros n − 2 ceros son simples , y se implica una transposición en Gal( f ( x , s )/ Q ( s )) . Cualquier grupo de permutaciones doblemente transitivo finito que contenga una transposición es un grupo simétrico completo.

El teorema de irreducibilidad de Hilbert implica entonces que un conjunto infinito de números racionales proporciona especializaciones de f ( x , t ) cuyos grupos de Galois son S _n sobre el cuerpo racional.${\displaystyle \mathbb {Q} }$. De hecho, este conjunto de números racionales es denso en${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

El discriminante de g ( y , t ) es igual a

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

y esto no es, en general, un cuadrado perfecto.

Supongamos que C ₁ , …, C _n son clases de conjugación de un grupo finito G , y A es el conjunto de n -tuplas ( g ₁ , …, g _n ) de G tales que g _i está en C _i y el producto g ₁ … g _n es trivial. Entonces A se llama rígido si no es vacío , G actúa transitivamente sobre él por conjugación, y cada elemento de A genera G .

Thompson (1984) demostró que si un grupo finito G tiene un conjunto rígido, entonces a menudo puede realizarse como un grupo de Galois sobre una extensión ciclotómica de los racionales. (Más precisamente, sobre la extensión ciclotómica de los racionales generada por los valores de los caracteres irreducibles de G en las clases de conjugación C _i .)

Esto puede usarse para demostrar que muchos grupos simples finitos, incluido el grupo monstruo , son grupos de Galois de extensiones de los racionales. El grupo monstruo está generado por una tríada de elementos de órdenes 2 , 3 y 29. Todas estas tríadas son conjugadas.

El prototipo de rigidez es el grupo simétrico S _n , generado por un ciclo de orden n y una transposición cuyo producto es un ciclo de orden ( n − 1 ) . La construcción de la sección anterior utilizó estos generadores para establecer el grupo de Galois de un polinomio.

Sea n > 1 cualquier entero. Una red Λ en el plano complejo con razón de periodos τ tiene una subred Λ′ con razón de periodos nτ . Esta última red es una de un conjunto finito de subredes permutadas por el grupo modular PSL(2, Z ) , que se basa en cambios de base para Λ . Sea j la función modular elíptica de Felix Klein . Definimos el polinomio φ _n como el producto de las diferencias ( X − j (Λ _i )) sobre las subredes conjugadas. Como polinomio en X , φ _n tiene coeficientes que son polinomios sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$en j ( τ ) .

En las retículas conjugadas, el grupo modular actúa como PGL(2, Z / n Z ) . De ello se deduce que φ _n tiene un grupo de Galois isomorfo a PGL(2, Z / n Z ) sobre${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$.

El uso del teorema de irreducibilidad de Hilbert proporciona un conjunto infinito (y denso) de números racionales que especializan φ _n en polinomios con grupo de Galois PGL(2, Z / n Z ) sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Los grupos PGL(2, Z / n Z ) incluyen infinitos grupos no resolubles.

• Grupo semiabeliano (teoría de Galois)

• MacBeath, AM (1969). "Extensiones de los racionales con grupo de Galois PGL(2,Z _n )". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 1 (3): 332– 338. doi : 10.1112/BLMS/1.3.332 .
• Thompson, John G. (1984), "Algunos grupos finitos que aparecen como Gal L/K, donde K ⊆ Q(μ _n )", Journal of Algebra , 89 (2): 437– 499, doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X , MR 0751155 
• Helmut Völklein, Grupos como grupos de Galois, una introducción , Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030.
• Serre, Jean-Pierre (1992). Temas de teoría de Galois . Notas de investigación en matemáticas. Vol.  1. Jones and Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 . 
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría de Galois inversa , Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8.
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Teoría inversa de Galois , 2.ª edición, Springer-Verlag, 2018.
• Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Teorema de Safarevic sobre grupos solubles como grupos de Galois ( ver también Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0948.11001  )
• Christian U. Jensen; Arne Ledet; Noriko Yui (2002). Polinomios genéricos: aspectos constructivos del problema inverso de Galois . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81998-9.

• "Problema de Galois inverso. Programa de verano para graduados de PCMI 2021: Teoría de números basada en computación - 26-30 de julio de 2021" . Archivado del original el 16 de febrero de 2023.