Transformación de dispersión inversa

Las variables independientes son una variable espacial.${\displaystyle x}$y una variable de tiempo${\displaystyle t}$. Subíndices u operadores diferenciales (${\textstyle \partial _ {x}, \partial _ {t}}$) indican diferenciación. La función${\displaystyle u(x,t)}$es una solución de una ecuación diferencial parcial no lineal,${\textstyle u_{t}+N(u)=0}$, con condición inicial (valor)${\textstyle u(x,0)}$. ^{[ 2 ] : 72}

La solución de la ecuación diferencial cumple las condiciones de integrabilidad y Fadeev: ^{[ 2 ] : 40}

Condición de integrabilidad:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ |u(x)|\ dx\ <\infty }$

Condición de Fadeev:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ (1+|x|)|u(x)|\ dx\ <\infty }$

Los operadores diferenciales de Lax ,${\textstyle L}$y${\textstyle M}$, son operadores diferenciales ordinarios lineales con coeficientes que pueden contener la función${\textstyle u(x,t)}$o sus derivados. El operador autoadjunto${\textstyle L}$tiene derivada temporal${\textstyle L_{t}}$y genera una ecuación de valores propios (espectral) con funciones propias.${\textstyle \psi }$y valores propios constantes en el tiempo ( parámetros espectrales )${\textstyle \lambda }$. ^{[ 1 ] : 4963 [ 2 ] : 98}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi ,\ }$y${\textstyle \ L_{t}(\psi ){\overset {def}{=}}(L(\psi ))_{t}-L(\psi _{t})}$

El operador${\textstyle M}$describe cómo evolucionan las funciones propias a lo largo del tiempo y genera una nueva función propia.${\textstyle {\widetilde {\psi }}}$del operador${\textstyle L}$a partir de la autofunción${\textstyle \psi }$de${\textstyle L}$. ^{[ 1 ] : 4963}

${\displaystyle {\widetilde {\psi }}=\psi _{t}-M(\psi )\ }$

Los operadores de Lax se combinan para formar un operador multiplicativo, no un operador diferencial, de las autofunciones.${\textstyle \psi }$. ^{[ 1 ] : 4963}

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0}$

Los operadores de Lax se eligen para que el operador multiplicativo sea igual a la ecuación diferencial no lineal. ^{[ 1 ] : 4963}

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}+N(u)=0}$

Los operadores diferenciales AKNS , desarrollados por Ablowitz, Kaup, Newell y Segur, son una alternativa a los operadores diferenciales de Lax y logran un resultado similar. ^{[ 1 ] : 4964 [ 9 ] [ 10 ]}

La transformada de dispersión directa genera datos de dispersión iniciales; estos pueden incluir los coeficientes de reflexión, el coeficiente de transmisión, los datos de valores propios y las constantes de normalización de las soluciones de autofunción para esta ecuación diferencial. ^{[ 2 ] : 39–48}

${\displaystyle L(\psi )=\lambda \psi }$

Las ecuaciones que describen cómo evolucionan los datos de dispersión a lo largo del tiempo aparecen como soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden con respecto al tiempo. Utilizando diferentes enfoques, esta ecuación diferencial lineal de primer orden puede surgir de los operadores diferenciales lineales (par de Lax, par de AKNS), una combinación de los operadores diferenciales lineales y la ecuación diferencial no lineal, o a través de operaciones adicionales de sustitución, integración o diferenciación. Ecuaciones espacialmente asintóticas (${\textstyle x\to \pm \infty }$) simplificar la resolución de estas ecuaciones diferenciales. ^{[ 1 ] : 4967–4968 [ 2 ] : 68–72 [ 6 ]}

La ecuación de Marchenko combina los datos de dispersión en una ecuación integral lineal de Fredholm . La solución de esta ecuación integral conduce a la solución, u(x,t), de la ecuación diferencial no lineal. ^{[ 2 ] : 48–57}

Los operadores de Lax son: ^{[ 2 ] : 97–102}

${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+u(x,t)\ }$ y${\textstyle \ M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}}$

El operador multiplicativo es:

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

Las soluciones a esta ecuación diferencial

${\textstyle L(\psi )=-\psi _{xx}+u(x,0)\psi =\lambda \psi }$

Puede incluir soluciones de dispersión con un rango continuo de valores propios ( espectro continuo ) y soluciones de estado ligado con valores propios discretos ( espectro discreto ). Los datos de dispersión incluyen coeficientes de transmisión.${\textstyle T(k,0)}$, coeficiente de reflexión izquierda${\textstyle R_{L}(k,0)}$, coeficiente de reflexión derecha${\textstyle R_{R}(k,0)}$, valores propios discretos${\textstyle -\kappa _ {1}^{2},\ldots,-\kappa _ {N}^{2}}$y constantes de normalización (normanización) de estados ligados izquierdo y derecho . ^{[ 1 ] : 4960}

${\displaystyle c(0)_{Lj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{L}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

${\displaystyle c(0)_{Rj}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi _{R}^{2}(ik_{j},x,0)\ dx\right)^{-1/2}\ j=1,\dots ,N}$

La izquierda espacialmente asintótica${\textstyle \psi _{L}(k,x,t)}$y derecha${\textstyle \psi _{R}(k,x,t)}$Las funciones de Jost simplifican este paso. ^{[ 1 ] : 4965–4966}

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(x,k,t)&=e^{ikx}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{L}(x,k,t)&={\frac {e^{ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{L}(k,t)e^{-ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to -\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&={\frac {e^{-ikx}}{T(k,t)}}+{\frac {R_{R}(k,t)e^{ikx}}{T(k,t)}}+o(1),\ x\to +\infty \\\psi _{R}(x,k,t)&=e^{-ikx}+o(1),\ x\to -\infty \\\end{aligned}}}$

Las constantes de dependencia${\textstyle \gamma _{j}(t)}$relacionar las funciones de Jost derecha e izquierda y las constantes de normalización derecha e izquierda. ^{[ 1 ] : 4965–4966}

${\displaystyle \gamma _{j}(t)={\frac {\psi _{L}(x,i\kappa _{j},t)}{\psi _{R}(x,i\kappa _{j},t)}}=(-1)^{N-j}{\frac {c_{Rj}(t)}{c_{Lj}(t)}}}$

El Lax${\textstyle M}$El operador diferencial genera una autofunción que puede expresarse como una combinación lineal dependiente del tiempo de otras autofunciones. ^{[ 1 ] : 4967}

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{L}(k,x,t)-M\psi _{L}(x,k,t)=a_{L}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{L}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

${\displaystyle \partial _{t}\psi _{R}(k,x,t)-M\psi _{R}(x,k,t)=a_{R}(k,t)\psi _{L}(x,k,t)+b_{R}(k,t)\psi _{R}(x,k,t)}$

Las soluciones a estas ecuaciones diferenciales, determinadas mediante funciones de Jost espacialmente asintóticas de dispersión y de estado ligado, indican un coeficiente de transmisión constante en el tiempo.${\textstyle T(k,t)}$, pero coeficientes de reflexión dependientes del tiempo y coeficientes de normalización. ^{[ 1 ] : 4967–4968}

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{L}(k,t)&=R_{L}(k,0)e^{-i8k^{3}t}\\R_{R}(k,t)&=R_{R}(k,0)e^{+i8k^{3}t}\\c_{Lj}(t)&=c_{Lj}(0)e^{+4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\\c_{Rj}(t)&=c_{Rj}(0)e^{-4\kappa _{j}^{3}t},\ j=1,\ldots ,N\end{aligned}}}$

El núcleo de Marchenko es${\textstyle F(x,t)}$. ^{[ 1 ] : 4968–4969}

${\displaystyle F(x,t){\overset {def}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }R_{R}(k,t)e^{ikx}\ dk+\sum _{j=1}^{N}c(t)_{Lj}^{2}e^{-\kappa _{j}x}}$

La ecuación integral de Marchenko es una ecuación integral lineal que se resuelve para${\textstyle K(x,y,t)}$. ^{[ 1 ] : 4968–4969}

${\displaystyle K(x,z,t)+F(x+z,t)+\int _{x}^{\infty }K(x,y,t)F(y+z,t)\ dy=0}$

La solución a la ecuación de Marchenko,${\textstyle K(x,y,t)}$genera la solución${\textstyle u(x,t)}$a la ecuación diferencial parcial no lineal. ^{[ 1 ] : 4969}

${\displaystyle u(x,t)=-2{\frac {\partial K(x,y,t)}{\partial x}}}$