Transformación de inversión

En física matemática , las transformaciones de inversión son una extensión natural de las transformaciones de Poincaré para incluir todas las transformaciones conformes biyectivas en el espacio-tiempo de coordenadas . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se estudian menos en física porque, a diferencia de las rotaciones y traslaciones de la simetría de Poincaré, un objeto no puede transformarse físicamente mediante la simetría de inversión. Algunas teorías físicas son invariantes bajo esta simetría; en estos casos, se trata de lo que se conoce como una "simetría oculta". Otras simetrías ocultas de la física incluyen la simetría de gauge y la covarianza general .

En 1831, el matemático Ludwig Immanuel Magnus comenzó a publicar sobre transformaciones del plano generadas por inversión en un círculo de radio R. Su trabajo dio origen a un amplio conjunto de publicaciones, ahora conocidas como geometría inversiva . El matemático más destacado fue August Ferdinand Möbius, quien redujo las transformaciones planas a la aritmética de números complejos . Entre los físicos que emplearon la transformación de inversión desde sus inicios se encontraba Lord Kelvin , y su asociación con él dio origen al nombre de transformada de Kelvin .

En lo que sigue utilizaremos el tiempo imaginario (${\displaystyle t'=it}$) de modo que el espacio-tiempo sea euclidiano y las ecuaciones sean más sencillas. Las transformaciones de Poincaré vienen dadas por la transformación de coordenadas en el espacio-tiempo parametrizada por los 4-vectores V 

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,}$

dónde${\displaystyle O}$es una matriz ortogonal y${\displaystyle P}$es un cuadrivector. Al aplicar esta transformación dos veces a un cuadrivector se obtiene una tercera transformación de la misma forma. El invariante básico bajo esta transformación es la longitud espacio-temporal dada por la distancia entre dos puntos espacio-temporales dados por los cuadrivectores x e y : 

${\displaystyle r=|xy|.\,}$

Estas transformaciones son subgrupos de transformaciones conformes 1-1 generales en el espacio-tiempo. Es posible extender estas transformaciones para incluir todas las transformaciones conformes 1-1 en el espacio-tiempo.

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

También debemos tener una condición equivalente a la condición de ortogonalidad de las transformaciones de Poincaré:

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

Porque se puede dividir la parte superior e inferior de la transformación por${\displaystyle D,}$no perdemos generalidad al establecer${\displaystyle D}$a la matriz identidad. Terminamos con

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _ {\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

Aplicar esta transformación dos veces a un 4-vector da como resultado una transformación de la misma forma. La nueva simetría de 'inversión' viene dada por el 3-tensor.${\displaystyle Q.}$Esta simetría se convierte en simetría de Poincaré si establecemos${\displaystyle Q=0.}$Cuando${\displaystyle Q=0}$La segunda condición requiere que${\displaystyle O}$es una matriz ortogonal. Esta transformación es biyectiva, lo que significa que cada punto se asigna a un único punto solo si teóricamente incluimos los puntos en el infinito.

Se desconocen los invariantes para esta simetría en 4 dimensiones; sin embargo, se sabe que el invariante requiere un mínimo de 4 puntos espacio-temporales. En una dimensión, el invariante es la conocida razón antagónica de las transformaciones de Möbius :

${\displaystyle {\frac {(xX)(yY)}{(xY)(yX)}}.}$

Debido a que los únicos invariantes bajo esta simetría involucran un mínimo de 4 puntos, esta simetría no puede ser una simetría de la teoría de partículas puntuales. La teoría de partículas puntuales se basa en conocer las longitudes de las trayectorias de las partículas a través del espacio-tiempo (por ejemplo, desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$). La simetría puede ser una simetría de una teoría de cuerdas en la que las cuerdas están determinadas unívocamente por sus extremos. El propagador para esta teoría para una cuerda que comienza en los extremos${\displaystyle (x,X)}$y terminando en los puntos finales${\displaystyle (y,Y)}$es una función conforme del invariante de 4 dimensiones. Un campo de cuerdas en la teoría de cuerdas de puntos extremos es una función sobre los puntos extremos.

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

Si bien es natural generalizar las transformaciones de Poincaré para encontrar simetrías ocultas en física y, por lo tanto, reducir el número de posibles teorías de la física de altas energías , es difícil examinar experimentalmente esta simetría, ya que no es posible transformar un objeto bajo ella. La evidencia indirecta de esta simetría se obtiene a partir de la precisión con la que las teorías fundamentales de la física que son invariantes bajo esta simetría realizan predicciones. Otra evidencia indirecta es si las teorías invariantes bajo esta simetría conducen a contradicciones, como dar probabilidades mayores que 1. Hasta ahora no hay evidencia directa de que los constituyentes fundamentales del Universo sean cuerdas. La simetría también podría ser una simetría rota, lo que significa que, aunque es una simetría de la física, el Universo se ha "congelado" en una dirección particular, por lo que esta simetría ya no es evidente.

• Grupo de rotación SO(3)
• Coordenadas rotaciones y reflexiones
• Simetrías del espacio-tiempo
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