Geometría inversa

Invertir un número en aritmética generalmente significa tomar su recíproco . Una idea muy relacionada en geometría es la de "invertir" un punto. En el plano , el inverso de un punto P con respecto a un círculo de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P ' , que se encuentra en el rayo que va de O a P de tal manera que

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

Esto se denomina inversión de círculo o inversión de plano . La inversión que transforma cualquier punto P (distinto de O ) en su imagen P ' también transforma P ' de nuevo en P , por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación identidad, lo que la convierte en una autoinversión (es decir, una involución). ^{[ 2 ] [ 3 ]} Para que la inversión sea una función total definida también para O , es necesario introducir un punto en el infinito , un único punto situado en todas las líneas, y extender la inversión, por definición, para intercambiar el centro O y este punto en el infinito.

De la definición se deduce que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe quedar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto en el infinito cambiando de posición, mientras que cualquier punto sobre el círculo permanece invariante (es invariante bajo la inversión). En resumen, para un punto dentro del círculo, cuanto más cerca esté del centro, más alejada estará su transformación. En cambio, para cualquier punto (dentro o fuera del círculo), cuanto más cerca esté del círculo, más cercana será su transformación.

Construcción de compás y regla

Señala fuera del círculo

Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø :

• Dibuja el segmento desde O ( centro del círculo Ø ) hasta P.
• Sea M el punto medio de OP . (No se muestra)
• Dibuja el círculo c con centro M que pase por P. (No está etiquetado. Es el círculo azul).
• Sean N y N ' los puntos donde se intersecan Ø y c .
• Dibujar el segmento NN ' .
• P ' es donde se cruzan OP y NN ' .

Punto dentro del círculo

Para construir la inversa P de un punto P ' dentro de un círculo Ø :

• Dibuja la semirrecta r desde O (centro del círculo Ø ) pasando por P ' . (No está etiquetada, es la línea horizontal).
• Dibuja una línea s que pase por P ' y sea perpendicular a r . (No está etiquetada. Es la línea vertical).
• Sea N uno de los puntos donde Ø y s se intersecan.
• Dibuja el segmento ON .
• Dibuja una línea t que pase por N perpendicular a ON .
• P es el punto donde se intersecan el rayo r y la línea t .

Existe una construcción del punto inverso de A con respecto a un círculo Ø que es independiente de si A está dentro o fuera de Ø . ^{[ 4 ]}

Consideremos un círculo Ø con centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo Ø .

• Toma el punto de intersección C del rayo OA con el círculo Ø .
• Conecta el punto C con un punto arbitrario B en la circunferencia Ø (distinto de C y del punto en Ø antipodal a C ).
• Sea h la reflexión del rayo BA en la línea BC . Entonces h corta al rayo OC en un punto A ' . A ' es el punto inverso de A con respecto al círculo Ø . ^{[ 4 ] : § 3.2}

• 
  La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo que pasa por O (azul) es una línea que no pasa por O (verde), y viceversa.
• 
  El inverso, con respecto al círculo rojo, de un círculo que no pasa por O (azul) es un círculo que no pasa por O (verde), y viceversa.
• 
  La inversión con respecto a un círculo no transforma el centro del círculo en el centro de su imagen.

La inversión de un conjunto de puntos en el plano con respecto a un círculo es el conjunto de inversos de estos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión de círculos sea útil.

• Un círculo que pasa por el centro O del círculo de referencia se invierte en una línea que no pasa por O , sino que es paralela a la tangente al círculo original en O , y viceversa; mientras que una línea que pasa por O se invierte en sí misma (pero no es invariante puntualmente). ^{[ 5 ]}
• Un círculo que no pasa por O se invierte en un círculo que tampoco pasa por O. Si el círculo interseca al círculo de referencia, estos puntos de intersección invariantes también se encuentran en el círculo inverso. Un círculo (o línea) no se ve afectado por la inversión si y solo si es ortogonal al círculo de referencia en los puntos de intersección. ^{[ 5 ]}

Las propiedades adicionales incluyen:

• Si un círculo q pasa por dos puntos distintos A y A' que son inversos con respecto a un círculo k , entonces los círculos k y q son ortogonales.
• Si los círculos k y q son ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro O de k e interseca a q , lo hace en puntos inversos con respecto a k .
• Dado un triángulo OAB en el que O es el centro de un círculo k , y los puntos A' y B' son inversos de A y B con respecto a k , entonces

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ y }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• Los puntos de intersección de dos círculos p y q ortogonales a un círculo k son inversos con respecto a k .
• Si M y M' son puntos inversos con respecto a un círculo k en dos curvas m y m', también inversas con respecto a k , entonces las tangentes a m y m' en los puntos M y M' son perpendiculares a la línea recta MM' o forman con esta línea un triángulo isósceles con base MM'.
• La inversión no altera la medida de los ángulos, pero invierte la orientación de los ángulos orientados. ^{[ 6 ]}

• La inversión de una línea es un círculo que contiene el centro de inversión; o es la línea misma si contiene el centro.
• La inversión de un círculo es otro círculo; o es una línea si el círculo original contiene el centro.
• La inversión de una parábola es una cardioide.
• La inversión de la hipérbola es una lemniscata de Bernoulli.

Para un círculo que no pasa por el centro de inversión, el centro del círculo invertido y el centro de su imagen invertida son colineales con el centro del círculo de referencia. Este hecho se puede usar para demostrar que la línea de Euler del triángulo inscrito coincide con su línea OI. La demostración, a grandes rasgos, es la siguiente:

Invertir con respecto al círculo inscrito del triángulo ABC . El triángulo medial del triángulo inscrito se invierte en el triángulo ABC , lo que significa que el circuncentro del triángulo medial, es decir, el centro de nueve puntos del triángulo inscrito, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC son colineales .

Dos círculos cualesquiera que no se intersecan pueden transformarse en círculos concéntricos mediante inversión . La distancia de inversión (generalmente denotada por δ) se define como el logaritmo natural de la razón entre los radios de los dos círculos concéntricos.

Además, dos círculos cualesquiera que no se intersecan pueden invertirse para formar círculos congruentes , utilizando un círculo de inversión centrado en un punto del círculo de antisimilitud .

El mecanismo de Peaucellier-Lipkin es una implementación mecánica de la inversión en un círculo. Proporciona una solución exacta al importante problema de la conversión entre movimiento lineal y circular.

Polo y polar

Si el punto R es el inverso del punto P , entonces las líneas perpendiculares a la línea PR que pasan por uno de los puntos son la polar del otro punto (el polo ).

Los polos y los polares tienen varias propiedades útiles:

• Si un punto P se encuentra en una línea l , entonces el polo L de la línea l se encuentra en el polo p del punto P.
• Si un punto P se mueve a lo largo de una línea l , su polar p gira alrededor del polo L de la línea l .
• Si se pueden trazar dos líneas tangentes desde un polo a un círculo, entonces su polo pasa por ambos puntos de tangencia.
• Si un punto se encuentra sobre la circunferencia, su polar es la tangente que pasa por ese punto.
• Si un punto P se encuentra sobre su propia línea polar, entonces P está sobre la circunferencia.
• Cada línea tiene exactamente un poste.

Una proyección estereográfica generalmente proyecta una esfera desde un punto. ${\displaystyle N}$(polo norte) de la esfera sobre el plano tangente en el punto opuesto${\displaystyle S}$(polo sur). Este mapeo se puede realizar mediante una inversión de la esfera sobre su plano tangente. Si la esfera (a proyectar) tiene la ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$(escrito alternativamente)${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$; centro${\displaystyle (0,0,-0.5)}$radio${\displaystyle 0.5}$(verde en la imagen), entonces se mapeará mediante la inversión en la esfera unitaria (rojo) sobre el plano tangente en el punto${\displaystyle S=(0,0,-1)}$. Las líneas que pasan por el centro de inversión (punto${\displaystyle N}$) se proyectan sobre sí mismas. Son las líneas de proyección de la proyección estereográfica.

Las coordenadas de la esfera de 6 dimensiones son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional que se obtiene invirtiendo las coordenadas cartesianas .

La combinación de dos inversiones en círculos concéntricos da como resultado una semejanza , una transformación homotética o una dilatación caracterizada por la relación de los radios de los círculos.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

Cuando un punto en el plano se interpreta como un número complejo${\displaystyle z=x+iy,}$con conjugado complejo${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$entonces el recíproco de z es

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

En consecuencia, la forma algebraica de la inversión en un círculo unitario viene dada por${\displaystyle z\mapsto w}$dónde:

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

La reciprocidad es clave en la teoría de la transformación como generador del grupo de Möbius . Los otros generadores son la traslación y la rotación, ambas familiares a través de manipulaciones físicas en el espacio tridimensional ambiente. La introducción de la reciprocidad (dependiente de la inversión del círculo) es lo que produce la naturaleza peculiar de la geometría de Möbius, que a veces se identifica con la geometría inversiva (del plano euclidiano). Sin embargo, la geometría inversiva es el estudio más amplio ya que incluye la inversión bruta en un círculo (aún no convertida, con la conjugación, en reciprocidad). La geometría inversiva también incluye el mapeo de conjugación . Ni la conjugación ni la inversión en un círculo están en el grupo de Möbius ya que no son conformes (véase más adelante). Los elementos del grupo de Möbius son funciones analíticas de todo el plano y, por lo tanto, son necesariamente conformes .

Consideremos, en el plano complejo, el círculo de radio${\displaystyle r}$alrededor del punto${\displaystyle a}$

${\displaystyle (za)(za)^{*}=r^{2}}$

donde sin pérdida de generalidad,${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$Utilizando la definición de inversión

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

Es sencillo demostrar que${\displaystyle w}$obedece la ecuación

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

y por lo tanto que${\displaystyle w}$describe el círculo del centro${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$y radio${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Cuando${\displaystyle a\to r,}$El círculo se transforma en la línea paralela al eje imaginario.${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

Para${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$y${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$el resultado para${\displaystyle w}$es

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

demostrando que el${\displaystyle w}$describe el círculo del centro${\textstyle {\frac {a^{*}}{(aa^{*}-r^{2})}}}$y radio${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$.

Cuando${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$la ecuación para${\displaystyle w}$se convierte

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Como se mencionó anteriormente, el cero, el origen, requiere una consideración especial en la aplicación de inversión del círculo. El enfoque consiste en añadir un punto en el infinito designado como ∞ o 1/0. En el enfoque de los números complejos, donde la reciprocidad es la operación aparente, este procedimiento conduce a la recta proyectiva compleja , a menudo llamada esfera de Riemann . Fueron los subespacios y subgrupos de este espacio y grupo de aplicaciones los que se aplicaron para producir los primeros modelos de geometría hiperbólica por Beltrami , Cayley y Klein . Así, la geometría inversiva incluye las ideas originadas por Lobachevsky y Bolyai en su geometría plana. Además, Felix Klein quedó tan impresionado por esta facilidad de las aplicaciones para identificar fenómenos geométricos que presentó un manifiesto, el Programa de Erlangen , en 1872. Desde entonces, muchos matemáticos reservan el término geometría para un espacio junto con un grupo de aplicaciones de ese espacio. Las propiedades significativas de las figuras en la geometría son aquellas que son invariantes bajo este grupo.

Por ejemplo, Smogorzhevsky ^{[ 10 ]} desarrolla varios teoremas de geometría inversiva antes de comenzar con la geometría lobachevskiana.