Distribución de Dirichlet invertida

En estadística , la distribución de Dirichlet invertida es una generalización multivariada de la distribución beta prima y está relacionada con la distribución de Dirichlet . Fue descrita por primera vez por Tiao y Cuttman en 1965. ^{[ 1 ]}

La distribución tiene una función de densidad dada por

${\displaystyle p\left(x_{1},\ldots ,x_{k}\right)={\frac {\Gamma \left(\nu _{1}+\cdots +\nu _{k+1}\right)}{\prod _{j=1}^{k+1}\Gamma \left(\nu _{j}\right)}}x_{1}^{\nu _{1}-1}\cdots x_{k}^{\nu _{k}-1}\times \left(1+\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right)^{-\sum _{j=1}^{k+1}\nu _{j}},\qquad x_{i}>0.}$

La distribución tiene aplicaciones en regresión estadística y surge naturalmente al considerar la distribución t de Student multivariada . Se puede caracterizar ^{[ 2 ]} por sus momentos mixtos :

${\displaystyle E\left[\prod _{i=1}^{k}x_{i}^{q_{i}}\right]={\frac {\Gamma \left(\nu _{k+1}-\sum _{j=1}^{k}q_{j}\right)}{\Gamma \left(\nu _{k+1}\right)}}\prod _{j=1}^{k}{\frac {\Gamma \left(\nu _{j}+q_{j}\right)}{\Gamma \left(\nu _{j}\right)}}}$

siempre que${\displaystyle q_{j}>-\nu _{j},1\leqslant j\leqslant k}$y${\displaystyle \nu _{k+1}>q_{1}+\ldots +q_{k}}$.

La distribución de Dirichlet invertida es conjugada a la distribución multinomial negativa si se utiliza una forma generalizada de razón de probabilidades en lugar de las probabilidades de las categorías, si el vector de parámetros multinomial negativo viene dado por${\displaystyle p}$, cambiando los parámetros de la multinomial negativa a${\displaystyle x_{i}={\frac {p_{i}}{p_{0}}},i=1\ldots k}$dónde${\displaystyle p_{0}=1-\sum _{i=1}^{k}p_{i}}$.

T. Bdiri et al. han desarrollado varios modelos que utilizan la distribución de Dirichlet invertida para representar y modelar datos no gaussianos. Han introducido modelos de mezcla finita ^{[ 3 ] [ 4 ]} e infinita ^{[ 5 ]} de distribuciones de Dirichlet invertidas utilizando la técnica de Newton-Raphson para estimar los parámetros y el proceso de Dirichlet para modelar mezclas infinitas. T. Bdiri et al. también han utilizado la distribución de Dirichlet invertida para proponer un enfoque para generar núcleos de máquinas de vectores de soporte ^{[ 6 ]} basados ​​en inferencia bayesiana y otro enfoque para establecer agrupamiento jerárquico . ^{[ 7 ] [ 8 ]}