Evolvente

Esta sección se basa en el trabajo de Huygens y Barrow. ^{[ 3 ]}

En las involutas, existen generalmente dos tipos de cúspides. El primer tipo se encuentra en el punto donde la involuta toca la propia curva. Esta es una cúspide de orden 3/2. El segundo tipo se encuentra en el punto donde la curva presenta un punto de inflexión. Esta es una cúspide de orden 5/2.

Esto se puede ver visualmente construyendo un mapa.${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$definido por$${\displaystyle (s,t)\mapsto (x(s)+t\cos(\theta ),y(s)+t\sin(\theta ),t)}$$dónde${\displaystyle (x(s),y(s))}$es la parametrización de la longitud de arco de la curva, y${\displaystyle \theta }$es el ángulo de pendiente de la curva en el punto${\displaystyle (x(s),y(s))}$Esto transforma el plano 2D en una superficie en el espacio 3D. Por ejemplo, esto transforma el círculo en el hiperboloide de una hoja .

Mediante este mapa, las involutas se obtienen en un proceso de tres pasos: mapa${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, luego a la superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, luego proyéctalo hacia abajo hasta${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$eliminando el eje z:$${\displaystyle s\mapsto (s,l-s)\mapsto f(s,l-s)\mapsto (f(s,l-s)_{x},f(s,l-s)_{y})}$$dónde${\displaystyle l}$es alguna constante real.

Desde el mapeo${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$tiene derivada no nula en absoluto${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, las cúspides de la involuta solo pueden ocurrir donde la derivada de${\displaystyle s\mapsto f(s,l-s)}$es vertical (paralela al eje z), lo que solo puede ocurrir donde la superficie en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$tiene un plano tangente vertical.

En términos generales, la superficie tiene planos tangentes verticales solo en dos casos: donde la superficie toca la curva y donde la curva tiene un punto de inflexión.

cúspide del orden 5/2

Para el segundo tipo, considere la curva${\displaystyle y=x^{3}}$. El arco desde${\displaystyle x=0}$ a${\displaystyle x=s}$es de longitud${\displaystyle \int _{0}^{s}{\sqrt {1+(3t^{2})^{2}}}dt=s+{\frac {9}{10}}s^{5}-{\frac {9}{8}}s^{9}+O(s^{13})}$y la tangente en${\displaystyle x=s}$tiene ángulo${\displaystyle \theta =\arctan(3s^{2})}$. Por lo tanto, la involuta que comienza desde${\displaystyle x=0}$a distancia${\displaystyle L}$tiene fórmula paramétrica$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=s+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\cos \theta \\y(s)=s^{3}+(L-s-{\frac {9}{10}}s^{5}+\cdots )\sin \theta \end{cases}}}$$Amplíelo según el pedido.${\displaystyle s^{5}}$, obtenemos$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)=L-{\frac {9}{2}}Ls^{4}+({\frac {9}{2}}L-{\frac {9}{10}})s^{5}+O(s^{6})\\y(s)=3Ls^{2}-2s^{3}+O(s^{6})\end{cases}}}$$que es una cúspide de orden 5/2. Explícitamente, se puede resolver para la expansión polinómica que satisface${\displaystyle x,y}$:$${\displaystyle \left(x-L+{\frac {y^{2}}{2L}}\right)^{2}-\left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)^{2}\left({\frac {y}{3L}}\right)^{5}+O(s^{11})=0}$$o$${\displaystyle x=L-{\frac {y^{2}}{2L}}\pm \left({\frac {9}{2}}L+{\frac {51}{10}}\right)\left({\frac {y}{3L}}\right)^{2.5}+O(y^{2.75}),\quad \quad y\geq 0}$$lo que muestra claramente la forma de cúspide.

Configuración${\displaystyle L=0}$, obtenemos la evolvente que pasa por el origen. Es especial porque no contiene cúspides. Mediante desarrollo en serie, tiene una ecuación paramétrica.$${\displaystyle {\begin{cases}x(s)={\frac {18}{5}}s^{5}-{\frac {126}{5}}s^{9}+O(s^{13})\\y(s)=-2s^{3}+{\frac {54}{5}}s^{7}-{\frac {318}{5}}s^{11}+O(s^{15})\end{cases}}}$$o${\displaystyle x=-{\frac {18}{5\cdot 2^{1/3}}}y^{5/3}+O(y^{3})}$

Para un círculo con representación paramétrica${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$, uno tiene ${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$. Por eso${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$y la longitud del camino es${\displaystyle r(t-a)}$.

Al evaluar la ecuación dada anteriormente para la evolvente, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos(t+a)+t\sin(t+a))\\Y(t)&=r(\sin(t+a)-t\cos(t+a))\end{aligned}}}$

para la ecuación paramétrica de la evolvente del círculo.

El${\displaystyle a}$El término es opcional; sirve para establecer la ubicación inicial de la curva en el círculo. La figura muestra involutas para${\displaystyle a=-0.5}$(verde),${\displaystyle a=0}$(rojo),${\displaystyle a=0.5}$(morado) y${\displaystyle a=1}$(azul claro). Las involutas parecen espirales de Arquímedes , pero en realidad no lo son.

La longitud del arco para${\displaystyle a=0}$y${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$de la evolvente es

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

La ecuación paramétrica${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$describe una parábola semicúbica . Desde${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$uno consigue${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$y${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$. Extendiendo la cadena por ${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$simplifica enormemente los cálculos posteriores y se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Eliminar t produce${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$demostrando que esta evolvente es una parábola .

Las otras involutas son, por lo tanto, curvas paralelas de una parábola, y no son parábolas, ya que son curvas de grado seis (véase Curva paralela §  Ejemplos adicionales ).

Para la catenaria${\displaystyle (t,\cosh t)}$, el vector tangente es${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$y, como${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$su longitud es${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$Por lo tanto, la longitud del arco desde el punto (0, 1) es ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Por lo tanto, la evolvente que comienza en (0, 1) está parametrizada por

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

y por lo tanto es una tractriz .

Las demás involutas no son tractrices, ya que son curvas paralelas de una tractriz.

La representación paramétrica${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$describe una cicloide . Desde${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$, se obtiene (después de haber utilizado algunas fórmulas trigonométricas)

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

y

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Por lo tanto, las ecuaciones de la involuta correspondiente son

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

que describen la cicloide roja desplazada del diagrama. Por lo tanto

• Las involutas de la cicloide${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$son curvas paralelas de la cicloide

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Las curvas paralelas de una cicloide no son cicloides).