Prima regular

Un número primo impar${\displaystyle p}$Se define como regular si no divide el número de clase de la${\displaystyle p}$campo ciclotómico${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {p})}$, dónde${\displaystyle \zeta _{p}}$es un primitivo${\displaystyle p}$raíz cuadrada de la unidad.

El número primo 2 también suele considerarse regular.

El número de clases del cuerpo ciclotómico es el número de ideales del anillo de enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} (\zeta _ {p})}$hasta la equivalencia. Dos ideales${\displaystyle I}$y${\displaystyle J}$se consideran equivalentes si hay un valor distinto de cero${\displaystyle u}$en${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _ {p})}$de modo que${\displaystyle I=uJ}$. Los primeros números de estas clases se enumeran en (secuencia A000927 en el OEIS ) .

Ernst Kummer ( Kummer 1850 ) demostró que un criterio equivalente de regularidad es que${\displaystyle p}$no divide el numerador de ninguno de los números de Bernoulli${\displaystyle B_{k}}$para${\displaystyle k=2,4,6,\dots ,p-3}$.

La prueba de Kummer de que esto es equivalente a la definición de número de clase se ve reforzada por el teorema de Herbrand-Ribet , que establece ciertas consecuencias de${\displaystyle p}$dividiendo el numerador de uno de estos números de Bernoulli.

KL Jensen (alumno de Niels Nielsen ^{[ 5 ]} ) demostró en 1915 que existen infinitos primos irregulares de la forma${\displaystyle 4n+3}$. ^{[ 6 ]} En 1954, Carlitz dio una demostración simple del resultado más débil de que en general hay infinitos primos irregulares. ^{[ 7 ]}

Metsänkylä demostró en 1971 que para cualquier número entero${\displaystyle T>6}$, existen infinitos primos irregulares que no tienen la forma${\displaystyle mT\pm 1}$, ^{[ 8 ]} y posteriormente lo generalizó. ^{[ 9 ]}

Si${\displaystyle p}$es un número primo irregular y${\displaystyle p}$divide el numerador del número de Bernoulli${\displaystyle B_{2k}}$para${\displaystyle 0<2k<p-1}$, entonces${\displaystyle (p,2k)}$Se denomina par irregular . En otras palabras, un par irregular es un dispositivo contable para registrar, para un número primo irregular.${\displaystyle p}$, los índices particulares de los números de Bernoulli en los que falla la regularidad. Los primeros pares irregulares (cuando se ordenan por${\displaystyle k}$) son:

Incluso el más pequeño${\displaystyle k}$de tal manera que${\displaystyle n}$El número primo irregular divide${\displaystyle B_{2k}}$son

Para un número primo dado${\displaystyle p}$, el número de tales pares se llama índice de irregularidad de${\displaystyle p}$. ^{[ 10 ]} Por lo tanto, un primo es regular si y solo si su índice de irregularidad es cero. De manera similar, un primo es irregular si y solo si su índice de irregularidad es positivo.

Se descubrió que${\displaystyle (p,p-3)}$es de hecho un par irregular para${\displaystyle p=16843}$, así como para${\displaystyle p=2124679}$... No hay más ocurrencias para${\displaystyle p<10^{9}}$.

Un primo impar${\displaystyle p}$tiene índice irregular${\displaystyle n}$si y solo si hay${\displaystyle n}$valores de${\displaystyle k}$para qué${\displaystyle p}$divide${\displaystyle B_{2k}}$y estos${\displaystyle k}$s son menores que${\displaystyle (p-1)/2}$. El primer primo irregular con índice irregular mayor que 1 es 157 , que divide a${\displaystyle B_{62}}$y${\displaystyle B_{110}}$, por lo que tiene un índice irregular 2. Claramente, el índice irregular de un primo regular es 0.

El índice irregular del${\displaystyle n}$el primo que comienza con${\displaystyle n=2}$, o el primo 3 es

El índice irregular del${\displaystyle n}$el primo irregular es

Los números primos que tienen índice irregular 1 son

Los números primos que tienen índice irregular 2 son

Los números primos que tienen índice irregular 3 son

Los primos más pequeños con índice irregular${\displaystyle n}$son

(Esta secuencia define "el índice irregular de 2" como −1, y también comienza en${\displaystyle n=-1}$.)

De manera similar, podemos definir un primo irregular de Euler (o E-irregular) como un primo${\displaystyle p}$que divide al menos a un número de Euler${\displaystyle E_{2n}}$con${\displaystyle 0<2n\leq p-3}$. Los primeros primos irregulares de Euler son

Los pares irregulares de Euler son

Vandiver demostró en 1940 que el último teorema de Fermat (que${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$no tiene solución para números enteros${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$,${\displaystyle z}$con${\displaystyle \gcd(xyz,p)=1}$) es cierto para exponentes primos${\displaystyle p}$que son eulerianas regulares. Gut demostró que${\displaystyle x^{2p}+y^{2p}=z^{2p}}$no tiene solución si${\displaystyle p}$tiene un índice de irregularidad E menor que 5. ^{[ 11 ]}