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Articulo de referencia

Irregularidad en las distribuciones

El problema de la irregularidad de las distribuciones , planteado por primera vez por Hugo Steinhaus , es un problema numérico con un resultado sorprendente. El problema consist...

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El problema de la irregularidad de las distribuciones , planteado por primera vez por Hugo Steinhaus , es un problema numérico con un resultado sorprendente. El problema consiste en encontrar N números,incógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}, todos entre 0 y 1, para los cuales se cumplen las siguientes condiciones:

  • Los dos primeros números deben estar en mitades diferentes (uno menor que 1/2 y otro mayor que 1/2).
  • Los tres primeros números deben estar en tercios diferentes (uno menor que 1/3, uno entre 1/3 y 2/3, y uno mayor que 2/3).
  • Los primeros 4 números deben estar en cuartos diferentes.
  • Los primeros 5 números deben estar en quintos diferentes.
  • etc.

Matemáticamente, buscamos una secuencia de números reales.

incógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}

de tal manera que para cada n ∈ {1, ..., N } y cada k ∈ {1, ..., n } existe algún i ∈ {1, ..., k } tal que            

k−1norte≤incógnitai<knorte.{\displaystyle {\frac {k-1}{n}}\leq x_{i}<{\frac {k}{n}}.}

Solución

El resultado sorprendente es que existe una solución hasta N  =  17, pero a partir de N  =  18 y valores superiores es imposible. Una posible solución para N  ≤  17 se muestra esquemáticamente a la derecha; numéricamente es la siguiente:

Una posible solución para N  =  17 se muestra en un diagrama. En cada fila n , hay n "vides" que se encuentran en diferentes n- ésimos . Por ejemplo, al observar la fila 5, se puede ver que 0  < x 1 < 1/5 < x 5 < 2/5 < x 3 < 3/5 < x 4 < 4/5 < x 2 < 1. Los valores numéricos se muestran en el texto del artículo.                   
incógnita1=0,029incógnita2=0,971incógnita3=0,423incógnita4=0,71incógnita5=0,27incógnita6=0,542incógnita7=0,852incógnita8=0,172incógnita9=0,62incógnita10=0,355incógnita11=0,777incógnita12=0.1incógnita13=0,485incógnita14=0,905incógnita15=0,218incógnita16=0,667incógnita17=0,324{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0.029\\x_{2}&=0.971\\x_{3}&=0.423\\x_{4}&=0.71\\x_{5}&=0.27\\x_{6}&=0.542\\x_{7}&=0.852\\x_{8}&=0.172\\x_{9}&=0.62\\x_{10}&=0.355\\x_{11}&=0.777\\x_{12}&=0.1\\x_{13}&=0.485\\x_{14}&=0.905\\x_{15}&=0.218\\x_{16}&=0.667\\x_{17}&=0.324\end{aligned}}}

En este ejemplo, considerando por ejemplo los primeros 5 números, tenemos

0<incógnita1<15<incógnita5<25<incógnita3<35<incógnita4<45<incógnita2<1.{\displaystyle 0<x_{1}<{\frac {1}{5}}<x_{5}<{\frac {2}{5}}<x_{3}<{\frac {3}{5}}<x_{4}<{\frac {4}{5}}<x_{2}<1.}

Mieczysław Warmus concluyó que 768 (1536, contando las soluciones simétricas por separado) conjuntos distintos de intervalos satisfacen las condiciones para N = 17.

Referencias