Completaciones en la teoría de categorías

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, existen varias maneras ( completaciones ) de ampliar una categoría dada de forma análoga a una completación en topología . Estas son (ignorando los aspectos de la teoría de conjuntos por simplicidad):

• cococompletación libre , completación libre . Estas se obtienen añadiendo libremente colímites o límites. Explícitamente, la cococompletación libre de una categoría C es la incrustación de Yoneda de C en la categoría de ^prehaces sobre C. [ ^{1 ] [ 2 ] La} completación libre de C es la cococompletación libre del opuesto de C. ^{[ 3} ]
  • ind-completitud . Esto se obtiene añadiendo libremente colímites filtrados .
• La completación de Cauchy de una categoría C es aproximadamente el cierre de C en alguna categoría ambiente de modo que todos los functores preserven los límites. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Por ejemplo, si un espacio métrico se considera una categoría enriquecida (véase espacio métrico generalizado ), entonces su completación de Cauchy coincide con la completación usual del espacio.
• La compleción de Isbell (también llamada compleción reflexiva ), introducida por Isbell en 1960, ^{[ 6 ]} es, en resumen, la categoría de punto fijo de la adjunción de conjugación de Isbell . ^{[ 7 ] [ 8 ]} No debe confundirse con la envoltura de Isbell , que también fue introducida por Isbell.
• La envoltura de Karoubi o la completitud idempotente de una categoría C es (aproximadamente) la ampliación universal de C de modo que todo idempotente es un idempotente dividido. ^{[ 9 ]}
• Finalización exacta

• Avery, Tom; Leinster, Tom (2021), "Conjugación de Isbell y completitud reflexiva" (PDF) , Theory and Applications of Categories , 36 : 306–347 , arXiv : 2102.08290
• Borceux, Francisco; Dejean, Dominique (1986), "Completación de Cauchy en la teoría de categorías" , Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , 27 ( 2): 133-146
• Carboni, A.; Vitale, EM (1998), "Completaciones regulares y exactas", Journal of Pure and Applied Algebra , 125 ( 1–3 ): 79–116 , doi : 10.1016/S0022-4049(96)00115-6
• Day, Brian J.; Lack, Stephen (2007), "Límites de functores pequeños", Journal of Pure and Applied Algebra , 210 (3): 651– 663, arXiv : math/0610439 , doi : 10.1016/j.jpaa.2006.10.019
• Isbell, JR (1960), "Subcategorías adecuadas", Illinois Journal of Mathematics , 4 (4), doi : 10.1215/ijm/1255456274
• "completado gratuito" , ncatlab.org
• "Cocompletación gratuita" , ncatlab.org
• "Categoría completa Cauchy" , ncatlab.org
• "Sobre Karoubi" , ncatlab.org
• "completado reflexivo" , ncatlab.org
• Willerton, Simon (2013), "Tight Spans, Isbell Completions and Semi-Tropical Modules" , The n-Category Café , arXiv : 1302.4370

• https://mathoverflow.net/questions/59291/completion-of-a-category
• Leinster, Tom (28 de febrero de 2022). "Leinster - La funtorialidad de la completitud reflexiva (Teoría de categorías 20→21)" . YouTube .
• Carboni, A. (15 de septiembre de 1995). "Algunas construcciones libres en realizabilidad y teoría de la demostración". Journal of Pure and Applied Algebra . 103 (2): 117– 148. doi : 10.1016/0022-4049(94)00103-p .