Isócrono

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria para una solución.${\displaystyle y(t)}$evolucionando con el tiempo:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}=1}$

Esta ecuación diferencial ordinaria (EDO) necesita dos condiciones iniciales en, digamos, el tiempo${\displaystyle t=0}$Denotemos las condiciones iniciales por${\displaystyle y(0)=y_{0}}$y${\displaystyle dy/dt(0)=y'_{0}}$ dónde${\displaystyle y_{0}}$y${\displaystyle y'_{0}}$son algunos parámetros. El siguiente argumento muestra que las isócronas para este sistema son aquí las líneas rectas.${\displaystyle y_{0}+y'_{0}={\mbox{constante}}}$.

La solución general de la EDO anterior es

${\displaystyle y=t+A+B\exp(-t)}$

Ahora, a medida que pasa el tiempo,${\displaystyle t\to \infty }$, los términos exponenciales decaen muy rápidamente a cero ( decaimiento exponencial ). Por lo tanto, todas las soluciones de la EDO se aproximan rápidamente.${\displaystyle y\to t+A}$. Es decir, todas las soluciones con la misma${\displaystyle A}$tienen la misma evolución a largo plazo. El decaimiento exponencial de la${\displaystyle B\exp(-t)}$El término reúne una serie de soluciones para compartir la misma evolución a largo plazo. Encuentra las isócronas respondiendo qué condiciones iniciales tienen la misma${\displaystyle A}$.

En el momento inicial${\displaystyle t=0}$tenemos${\displaystyle y_{0}=A+B}$y${\displaystyle y'_{0}=1-B}$Eliminar algebraicamente la constante inmaterial${\displaystyle B}$De estas dos ecuaciones se deduce que todas las condiciones iniciales${\displaystyle y_{0}+y'_{0}=1+A}$tienen lo mismo${\displaystyle A}$, por lo tanto, la misma evolución a largo plazo, y por consiguiente forman una isócrona.

Pasemos ahora a una aplicación más interesante del concepto de isócronas. Las isócronas surgen al intentar pronosticar resultados a partir de modelos de sistemas dinámicos. Consideremos el sistema de ejemplo de dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas.

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy{\text{ y }}{\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

Un truco matemático maravilloso es la transformación de la forma normal (sistemas dinámicos) . ^{[ 3 ]} Aquí la transformación de coordenadas cerca del origen

${\displaystyle x=X+XY+\cdots {\text{ y }}y=Y+2Y^{2}+X^{2}+\cdots }$

a nuevas variables${\displaystyle (X,Y)}$transforma la dinámica a la forma separada

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=-X^{3}+\cdots {\text{ y }}{\frac {dY}{dt}}=(-1-2X^{2}+\cdots )Y}$

Por lo tanto, cerca del origen,${\displaystyle Y}$decae a cero exponencialmente rápido como su ecuación es${\displaystyle dY/dt=({\text{negativo}})Y}$Por lo tanto, la evolución a largo plazo está determinada únicamente por${\displaystyle X}$: el${\displaystyle X}$La ecuación es el modelo.

Usemos el${\displaystyle X}$ecuación para predecir el futuro. Dados algunos valores iniciales${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$de las variables originales: ¿qué valor inicial debemos usar para${\displaystyle X(0)}$¿Respuesta: el${\displaystyle X_{0}}$que tiene la misma evolución a largo plazo. En la forma normal anterior,${\displaystyle X}$evoluciona independientemente de${\displaystyle Y}$. Por lo tanto, todas las condiciones iniciales con la misma${\displaystyle X}$pero diferentes${\displaystyle Y}$, tienen la misma evolución a largo plazo. Arreglar${\displaystyle X}$y varían${\displaystyle Y}$da las isócronas curvas en el${\displaystyle (x,y)}$plano. Por ejemplo, muy cerca del origen las isócronas del sistema anterior son aproximadamente las líneas${\displaystyle x-Xy=XX^{3}}$. Encuentra cuál isócrona son los valores iniciales${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$yacen: esa isócrona se caracteriza por alguna ${\displaystyle X_{0}}$; la condición inicial que proporciona el pronóstico correcto del modelo para todo momento es entonces ${\displaystyle X(0)=X_{0}}$.

Es posible encontrar este tipo de transformaciones de forma normal para sistemas relativamente sencillos de ecuaciones diferenciales ordinarias, tanto deterministas como estocásticas, a través de un sitio web interactivo.