Singularidad aislada

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , una singularidad aislada es aquella que no tiene otras singularidades cercanas. En otras palabras, un número complejo z ₀ es una singularidad aislada de una función f si existe un disco abierto D centrado en z ₀ tal que f es holomorfo en D  \ {z ₀ }, es decir, en el conjunto que se obtiene de D al sacar z ₀ .

Formalmente, y dentro del ámbito general de la topología general , una singularidad aislada de una función holomorfa es cualquier punto aislado del límite del dominio . En otras palabras, si es un subconjunto abierto de , y es una función holomorfa, entonces es una singularidad aislada de . ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle a\in U}$${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

Toda singularidad de una función meromórfica en un subconjunto abierto está aislada, pero el aislamiento de las singularidades por sí solo no es suficiente para garantizar que una función sea meromórfica. Muchas herramientas importantes de análisis complejo, como las series de Laurent y el teorema de residuos, requieren que todas las singularidades relevantes de la función estén aisladas. Hay tres tipos de singularidades aisladas: singularidades removibles , polos y singularidades esenciales . ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$

• La función tiene 0 como singularidad aislada.${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$
• La función cosecante tiene cada número entero como una singularidad aislada.${\displaystyle \csc \left(\pi z\right)}$

Además de las singularidades aisladas, las funciones complejas de una variable pueden presentar otros comportamientos singulares. Existen dos tipos de singularidades no aisladas:

• Puntos de agrupamiento , es decir, puntos límite de singularidades aisladas: si todos son polos, a pesar de admitirse expansiones en serie de Laurent en cada uno de ellos, no es posible dicha expansión en su límite.
• Límites naturales , es decir, cualquier conjunto no aislado (por ejemplo, una curva) alrededor del cual no se pueden continuar analíticamente funciones (o fuera de ellos si son curvas cerradas en la esfera de Riemann ).

• La función es meromórfica en , con polos simples en , para cada . Como , cada disco perforado centrado en tiene un número infinito de singularidades en su interior, por lo que no hay ninguna expansión de Laurent disponible para alrededor de , que es de hecho un punto de agrupamiento de sus polos.${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\textstyle z_{n}=\left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)^{-1}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle z_{n}\rightarrow 0}$${\displaystyle 0}$${\textstyle \tan \left({\frac {1}{z}}\right)}$${\displaystyle 0}$
• La función tiene una singularidad en 0 que no está aislada, ya que hay singularidades adicionales en el recíproco de cada entero , que se ubican arbitrariamente cerca de 0 (aunque las singularidades en estos recíprocos están en sí mismas aisladas).${\textstyle \csc \left({\frac {\pi }{z}}\right)}$
• La función definida a través de la serie de Maclaurin converge dentro del disco unitario abierto centrado en y tiene el círculo unitario como su límite natural.${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}}$${\displaystyle 0}$

• Ahlfors, L. , Análisis complejo, 3.ª ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Rudin, W. , Análisis real y complejo, 3.ª ed. (McGraw-Hill, 1986).
• Weisstein, Eric W. "Singularidad". MathWorld .