Proyección isométrica

La proyección isométrica es un método para representar visualmente objetos tridimensionales en dos dimensiones en dibujos técnicos y de ingeniería . Se trata de una proyección axonométrica en la que los tres ejes de coordenadas aparecen igualmente acortados y el ángulo entre cualesquiera dos de ellos es de 120 grados.

Dibujo isométrico de un cubo

Rotaciones de cámara necesarias para lograr esta perspectiva

El término "isométrico" proviene del griego y significa "medida igual", lo que refleja que la escala a lo largo de cada eje de la proyección es la misma (a diferencia de otras formas de proyección gráfica ).

Se puede obtener una vista isométrica de un objeto eligiendo la dirección de visualización de manera que los ángulos entre las proyecciones de los ejes x , y y z sean iguales, es decir, 120°. Por ejemplo, con un cubo, esto se logra mirando primero directamente hacia una de sus caras. Luego, el cubo se rota ±45° alrededor del eje vertical, seguido de una rotación de aproximadamente 35,264° (precisamente arcsin 1 / √3 o arctan 1 / √2 , que está relacionado con el ángulo mágico ) alrededor del eje horizontal. Nótese que, con el cubo (ver imagen) , el perímetro del dibujo 2D resultante es un hexágono regular perfecto: todas las líneas negras tienen la misma longitud y todas las caras del cubo tienen la misma área. Se puede colocar papel cuadriculado isométrico debajo de una hoja de papel de dibujo normal para ayudar a lograr el efecto sin necesidad de cálculos.

De forma similar, se puede obtener una vista isométrica en una escena 3D. Partiendo de la cámara alineada paralelamente al suelo y alineada con los ejes de coordenadas, primero se rota horizontalmente (alrededor del eje vertical) ±45°, y luego 35,264° alrededor del eje horizontal.

Otra forma de visualizar la proyección isométrica es considerando una vista dentro de una habitación cúbica, comenzando en una esquina superior y mirando hacia la esquina inferior opuesta. El eje x se extiende diagonalmente hacia abajo y a la derecha, el eje y se extiende diagonalmente hacia abajo y a la izquierda, y el eje z apunta hacia arriba. La altura también representa la profundidad en la imagen. Las líneas trazadas a lo largo de los ejes forman un ángulo de 120° entre sí.

En todos estos casos, al igual que con todas las proyecciones axonométricas y ortográficas , dicha cámara necesitaría una lente telecéntrica en el espacio del objeto , para que las longitudes proyectadas no cambien con la distancia a la cámara.

El término "isométrico" se usa a menudo erróneamente para referirse a las proyecciones axonométricas en general. Sin embargo, en realidad existen tres tipos de proyecciones axonométricas: isométricas , dimétricas y oblicuas .

De los dos ángulos necesarios para una proyección isométrica, el valor del segundo puede parecer contraintuitivo y merece una explicación más detallada. Imaginemos primero un cubo con lados de longitud 2 y su centro en el origen de los ejes, lo que significa que todas sus caras intersecan los ejes a una distancia de 1 del origen. Podemos calcular la longitud de la línea desde su centro hasta el punto medio de cualquier arista como √2 usando el teorema de Pitágoras . Al rotar el cubo 45° sobre el eje x , el punto (1, 1, 1) se convertirá en (1, 0, √2 ) , como se muestra en el diagrama. La segunda rotación tiene como objetivo llevar el mismo punto al eje z positivo y, por lo tanto , necesita realizar una rotación de valor igual a la arcotangente de 1 / √2 , que es aproximadamente 35,264°.

Existen ocho orientaciones diferentes para obtener una vista isométrica, dependiendo del octante hacia el que mire el observador. La transformación isométrica desde un punto a _{x , y , z} en el espacio 3D hasta un punto b _{x , y} en el espacio 2D mirando hacia el primer octante se puede escribir matemáticamente con matrices de rotación como: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{-\sin \alpha }\\0&{\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\-1&2&-1\\{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

donde α = arcsin(tan 30°) ≈ 35,264° y β = 45°. Como se explicó anteriormente, se trata de una rotación alrededor del eje vertical (en este caso , y ) en β , seguida de una rotación alrededor del eje horizontal (en este caso, x ) en α . A continuación, se realiza una proyección ortográfica al plano xy : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

Las otras 7 posibilidades se obtienen girando hacia los lados opuestos o no, y luego invirtiendo o no la dirección de la vista. ^{[ 1 ]}

Modelo de máquina de rectificado óptico (1822), dibujado en isometría de 30° ^{[ 2 ]}

Ejemplo de arte axonométrico en una edición ilustrada de la novela El romance de los Tres Reinos , China, c. siglo XV .

Formalizado por primera vez por el profesor William Farish (1759-1837), el concepto de isometría había existido en una forma empírica aproximada durante siglos. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Desde mediados del siglo XIX, la isometría se convirtió en una "herramienta invaluable para los ingenieros, y poco después la axonometría y la isometría se incorporaron al currículo de los cursos de formación arquitectónica en Europa y Estados Unidos". ^{[ 5 ]} Sin embargo, según Jan Krikke (2000), ^{[ 6 ]} "la axonometría se originó en China. Su función en el arte chino era similar a la perspectiva lineal en el arte europeo. La axonometría, y la gramática pictórica que la acompaña, ha adquirido un nuevo significado con la llegada de la computación visual". ^{[ 6 ]}

Un ejemplo de las limitaciones de la proyección isométrica. La diferencia de altura entre las bolas roja y azul no se puede determinar localmente.

La escalera de Penrose representa una escalera que parece ascender (en sentido contrario a las agujas del reloj) o descender (en el sentido de las agujas del reloj), pero que forma un bucle continuo.

Como ocurre con todos los tipos de proyección paralela , los objetos dibujados con proyección isométrica no parecen más grandes ni más pequeños a medida que se acercan o se alejan del observador. Si bien resulta ventajoso para los dibujos arquitectónicos donde es necesario tomar medidas directamente, el resultado es una distorsión perceptible, ya que, a diferencia de la proyección en perspectiva , no se corresponde con el funcionamiento normal de la visión humana o la fotografía. También puede dar lugar fácilmente a situaciones en las que la profundidad y la altura son difíciles de calcular, como se muestra en la ilustración de la derecha o de arriba. Esto puede dar la impresión de crear formas paradójicas o imposibles , como la escalera de Penrose .

Los gráficos isométricos para videojuegos son aquellos empleados en videojuegos y pixel art que utilizan una proyección paralela , pero que inclinan el punto de vista para revelar aspectos del entorno que no serían visibles desde una perspectiva cenital o lateral , produciendo así un efecto tridimensional . A pesar de su nombre, los gráficos isométricos por computadora no son necesariamente isométricos en el sentido estricto ; es decir, los ejes x , y y z no necesariamente están orientados a 120° entre sí. En cambio, se utilizan diversos ángulos, siendo la proyección dimétrica y una relación de píxeles de 2: 1 las más comunes. También se utilizan a veces los términos " perspectiva 3/4 ", " vista 3/4", " 2.5D " y "pseudo 3D " , aunque estos términos pueden tener significados ligeramente diferentes en otros contextos.

La proyección isométrica , antes común, se volvió menos frecuente con la llegada de sistemas gráficos 3D más potentes y a medida que los videojuegos comenzaron a centrarse más en la acción y los personajes individuales. ^{[ 7 ]} Sin embargo, los videojuegos que utilizan proyección isométrica —especialmente los juegos de rol para ordenador— han experimentado un resurgimiento en los últimos años dentro de la escena de los videojuegos independientes . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Proyección gráfica

• Proyección isométrica archivada el 30/03/2021 en Wayback Machine.