Teoremas de isomorfismo

Dejar${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$sean grupos, y dejen${\displaystyle f:G\rightarrow H}$Sea un homomorfismo . Entonces:

1. El núcleo de${\displaystyle f}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$,
2. La imagen de${\displaystyle f}$es un subgrupo de${\displaystyle H}$, y
3. La imagen de${\displaystyle f}$es isomorfo al grupo cociente${\displaystyle G/\ker f}$.

En particular, si${\displaystyle f}$es sobreyectiva entonces${\displaystyle H}$es isomorfo a${\displaystyle G/\ker f}$.

Este teorema se suele denominar primer teorema de isomorfismo .

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo. Dejemos${\displaystyle S}$ser un subgrupo de${\displaystyle G}$y dejar${\displaystyle N}$ser un subgrupo normal de${\displaystyle G}$. Entonces se cumple lo siguiente:

1. El producto${\displaystyle SN}$es un subgrupo de${\displaystyle G}$,
2. El subgrupo${\displaystyle N}$es un subgrupo normal de${\displaystyle SN}$,
3. La intersección${\displaystyle S\cap N}$es un subgrupo normal de${\displaystyle S}$, y
4. Los grupos de cociente${\displaystyle (SN)/N}$y${\displaystyle S/(S\cap N)}$son isomorfos.

Técnicamente, no es necesario${\displaystyle N}$ser un subgrupo normal, siempre y cuando${\displaystyle S}$es un subgrupo del normalizador de${\displaystyle N}$en${\displaystyle G}$. En este caso,${\displaystyle N}$no es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$, pero${\displaystyle N}$sigue siendo un subgrupo normal del producto${\displaystyle SN}$.

Este teorema a veces se denomina segundo teorema de isomorfismo , ^{[ 3 ]} teorema del diamante ^{[ 4 ]} o teorema del paralelogramo . ^{[ 5 ]}

Una aplicación del segundo teorema de isomorfismo identifica grupos lineales proyectivos : por ejemplo, el grupo en la recta proyectiva compleja comienza con la configuración${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$, el grupo de matrices complejas invertibles de 2 × 2 ,${\displaystyle S=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$, el subgrupo de matrices de determinante 1, y${\displaystyle N}$el subgrupo normal de matrices escalares${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{\left({\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}\right):a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$, tenemos${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$, dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad y${\displaystyle SN=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$Entonces, el segundo teorema de isomorfismo establece que:

${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {C} ):=\operatorname {GL} _{2}\left(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I\right)\cong \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo, y${\displaystyle N}$un subgrupo normal de${\displaystyle G}$. Entonces

1. Si${\displaystyle K}$es un subgrupo de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, entonces${\displaystyle G/N}$tiene un subgrupo isomorfo a${\displaystyle K/N}$.
2. Cada subgrupo de${\displaystyle G/N}$es de la forma${\displaystyle K/N}$para algún subgrupo${\displaystyle K}$de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
3. Si${\displaystyle K}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, entonces${\displaystyle G/N}$tiene un subgrupo normal isomorfo a${\displaystyle K/N}$.
4. Cada subgrupo normal de${\displaystyle G/N}$es de la forma${\displaystyle K/N}$para algún subgrupo normal${\displaystyle K}$de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$.
5. Si${\displaystyle K}$es un subgrupo normal de${\displaystyle G}$de tal manera que${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$, entonces el grupo cociente${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$es isomorfo a${\displaystyle G/K}$.

La última afirmación a veces se denomina tercer teorema de isomorfismo . Las primeras cuatro afirmaciones suelen estar incluidas en el Teorema D que aparece a continuación, y se las conoce como teorema de retículo , teorema de correspondencia o cuarto teorema de isomorfismo .

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo, y${\displaystyle N}$un subgrupo normal de${\displaystyle G}$. El homomorfismo de proyección canónico${\displaystyle G\rightarrow G/N}$define una correspondencia biyectiva entre el conjunto de subgrupos de${\displaystyle G}$que contiene${\displaystyle N}$y el conjunto de (todos) los subgrupos de${\displaystyle G/N}$. Bajo esta correspondencia, los subgrupos normales se corresponden con los subgrupos normales.

Este teorema a veces se denomina teorema de correspondencia , teorema de retículo y cuarto teorema de isomorfismo .

El lema de Zassenhaus (también conocido como el lema de la mariposa) a veces se denomina cuarto teorema de isomorfismo. ^{[ 6 ]}

El primer teorema de isomorfismo puede expresarse en lenguaje de teoría de categorías diciendo que la categoría de grupos es (normal epi, mono)-factorizable; en otras palabras, los epimorfismos normales y los monomorfismos forman un sistema de factorización para la categoría . Esto se captura en el diagrama conmutativo en el margen, que muestra los objetos y morfismos cuya existencia puede deducirse del morfismo.${\displaystyle f:G\rightarrow H}$El diagrama muestra que cada morfismo en la categoría de grupos tiene un núcleo en el sentido de la teoría de categorías; el morfismo arbitrario f se factoriza en${\displaystyle \iota \circ \pi }$donde ι es un monomorfismo y π es un epimorfismo (en una categoría conormal , todos los epimorfismos son normales). Esto se representa en el diagrama mediante un objeto${\displaystyle \ker f}$y un monomorfismo${\displaystyle \kappa$ :\ker f\rightarrow G} (los núcleos son siempre monomorfismos), que completan la corta secuencia exacta que va desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha del diagrama. El uso de la convención de secuencia exacta nos ahorra tener que dibujar los morfismos cero desde${\displaystyle \ker f}$a${\displaystyle H}$y${\displaystyle G/\ker f}$.

Si la secuencia está escindida a la derecha (es decir, hay un morfismo σ que mapea)${\displaystyle G/\operatorname {ker} f}$a una π -preimagen de sí mismo), entonces G es el producto semidirecto del subgrupo normal${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$y el subgrupo${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$. Si se divide por la izquierda (es decir, existe alguna${\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {ker} f}$de tal manera que${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{{\text{ker}}f}}$), entonces también debe ser una división derecha, y${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$es una descomposición de producto directo de G. En general, la existencia de una escisión derecha no implica la existencia de una escisión izquierda; pero en una categoría abeliana (como la de los grupos abelianos ), las escisiones izquierdas y derechas son equivalentes por el lema de escisión , y una escisión derecha es suficiente para producir una descomposición de suma directa .${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$En una categoría abeliana, todos los monomorfismos también son normales, y el diagrama puede extenderse mediante una segunda secuencia exacta corta.${\displaystyle 0\rightarrow G/\operatorname {ker} f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$.

En el segundo teorema de isomorfismo, el producto SN es la unión de S y N en el retículo de subgrupos de G , mientras que la intersección S  ∩ N es el encuentro . 

El tercer teorema de isomorfismo se generaliza mediante el noveno lema a categorías abelianas y aplicaciones más generales entre objetos.

A continuación presentamos cuatro teoremas, denominados A, B, C y D. Suelen numerarse como «Primer teorema de isomorfismo», «Segundo...», etc.; sin embargo, no existe un consenso universal sobre la numeración. Aquí ofrecemos algunos ejemplos de teoremas de isomorfismo de grupos que aparecen en la literatura. Cabe destacar que estos teoremas tienen análogos para anillos y módulos.

Es menos común incluir el Teorema D, generalmente conocido como teorema de retículo o teorema de correspondencia , como uno de los teoremas de isomorfismo, pero cuando se incluye, es el último.

Dejar${\displaystyle R}$y${\displaystyle S}$sean anillos, y dejen${\displaystyle \varphi :R\rightarrow S}$Sea un homomorfismo de anillos . Entonces:

1. El núcleo de${\displaystyle \varphi }$es un ideal de dos caras${\displaystyle R}$,
2. La imagen de${\displaystyle \varphi }$es un subanillo de${\displaystyle S}$, y
3. La imagen de${\displaystyle \varphi }$es isomorfo al anillo cociente${\displaystyle R/\ker \varphi }$.

En particular, si${\displaystyle \varphi }$es sobreyectiva entonces${\displaystyle S}$es isomorfo a${\displaystyle R/\ker \varphi }$. ^{[ 17 ]}

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo. Deja${\displaystyle S}$ser un subanillo de${\displaystyle R}$y dejar${\displaystyle I}$ser un ideal de dos caras${\displaystyle R}$. Entonces:

1. La suma${\displaystyle S+I=\{s+i\mid s\in S,i\in I\}}$es un subanillo de${\displaystyle R}$,
2. La intersección${\displaystyle S\cap I}$es un ideal de dos caras${\displaystyle S}$, y
3. Los anillos de cociente${\displaystyle (S+I)/I}$y${\displaystyle S/(S\cap I)}$son isomorfos.

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo, y${\displaystyle I}$un ideal de dos caras${\displaystyle R}$. Entonces

1. Si${\displaystyle A}$es un subanillo de${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$, entonces${\displaystyle A/I}$es un subanillo de${\displaystyle R/I}$.
2. Cada subanillo de${\displaystyle R/I}$es de la forma${\displaystyle A/I}$para algún anillo suba${\displaystyle A}$de${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$.
3. Si${\displaystyle J}$es un ideal de dos caras${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, entonces${\displaystyle J/I}$es un ideal de dos caras${\displaystyle R/I}$.
4. Todo ideal de izquierda, derecha o de dos lados de${\displaystyle R/I}$es de la forma${\displaystyle J/I}$para algún ideal de izquierda, derecha o de dos lados${\displaystyle J}$de${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$.
5. Si${\displaystyle J}$es un ideal de dos caras${\displaystyle R}$de tal manera que${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$, entonces el anillo cociente${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$es isomorfo a${\displaystyle R/J}$.

Dejar${\displaystyle I}$ser un ideal de dos caras${\displaystyle R}$La correspondencia${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$es una biyección que preserva la inclusión entre el conjunto de subanillos${\displaystyle A}$de${\displaystyle R}$que contienen${\displaystyle I}$y el conjunto de subanillos de ⁠${\displaystyle R/I}$⁠ . ^{[ 18 ]}

Dejar${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$sean módulos, y deje que${\displaystyle \varphi :M\rightarrow N}$Sea un homomorfismo de módulos . Entonces:

1. El núcleo de${\displaystyle \varphi }$es un submódulo de${\displaystyle M}$,
2. La imagen de${\displaystyle \varphi }$es un submódulo de${\displaystyle N}$, y
3. La imagen de${\displaystyle \varphi }$es isomorfo al módulo cociente${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

En particular, si${\displaystyle \varphi }$es sobreyectiva entonces${\displaystyle N}$es isomorfo a${\displaystyle M/\ker \varphi }$.

Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo, y dejar${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$ser submódulos de${\displaystyle M}$. Entonces:

1. La suma${\displaystyle S+T=\{s+t\mid s\in S,t\in T\}}$es un submódulo de${\displaystyle M}$,
2. La intersección${\displaystyle S\cap T}$es un submódulo de${\displaystyle M}$, y
3. Los módulos de cociente${\displaystyle (S+T)/T}$y${\displaystyle S/(S\cap T)}$son isomorfos.

Sea M un módulo, T un submódulo de M.

1. Si${\displaystyle S}$es un submódulo de${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, entonces${\displaystyle S/T}$es un submódulo de${\displaystyle M/T}$.
2. Cada submódulo de${\displaystyle M/T}$es de la forma${\displaystyle S/T}$para algún submódulo${\displaystyle S}$de${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$.
3. Si${\displaystyle S}$es un submódulo de${\displaystyle M}$de tal manera que${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$, entonces el módulo cociente${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$es isomorfo a${\displaystyle M/S}$.

Dejar${\displaystyle M}$ser un módulo,${\displaystyle N}$un submódulo de${\displaystyle M}$. Existe una biyección entre los submódulos de${\displaystyle M}$que contienen${\displaystyle N}$y los submódulos de${\displaystyle M/N}$La correspondencia se da por${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$a pesar de${\displaystyle A\supseteq N}$. Esta correspondencia conmuta con los procesos de tomar sumas e intersecciones (es decir, es un isomorfismo reticular entre el retículo de submódulos de${\displaystyle M/N}$y la red de submódulos de${\displaystyle M}$que contienen${\displaystyle N}$). ^{[ 19 ]}

Dejar${\displaystyle f:A\rightarrow B}$sea ​​un homomorfismo de álgebra . Entonces la imagen de${\displaystyle f}$es una subálgebra de${\displaystyle B}$, la relación dada por${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$(es decir, el núcleo de${\displaystyle f}$) es una congruencia en${\displaystyle A}$y las álgebras${\displaystyle A/\Phi }$y${\displaystyle \operatorname {im} f}$son isomorfos . (Nótese que en el caso de un grupo,${\displaystyle f(x)=f(y)}$si y solo si${\displaystyle f(xy^{-1})=1}$(Así pues, se recupera la noción de núcleo utilizada en la teoría de grupos en este caso).

Dado un álgebra${\displaystyle A}$, una subálgebra${\displaystyle B}$de${\displaystyle A}$y una congruencia${\displaystyle \Phi }$en${\displaystyle A}$, dejar${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$ser el rastro de${\displaystyle \Phi }$en${\displaystyle B}$y${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$la colección de clases de equivalencia que se intersecan${\displaystyle B}$. Entonces

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$es una congruencia en${\displaystyle B}$,
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$es una subálgebra de${\displaystyle A/\Phi }$, y
3. el álgebra${\displaystyle [B]^{\Phi }}$es isomorfo al álgebra${\displaystyle B/\Phi _{B}}$.

Dejar${\displaystyle A}$ser un álgebra y${\displaystyle \Phi ,\Psi }$dos relaciones de congruencia en${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$. Entonces${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$es una congruencia en${\displaystyle A/\Psi }$, y${\displaystyle A/\Phi }$es isomorfo a${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}$

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un álgebra y denotemos${\displaystyle \operatorname {Con} A}$el conjunto de todas las congruencias en${\displaystyle A}$. El conjunto ${\displaystyle \operatorname {Con} A}$es una red completa ordenada por inclusión. ^{[ 20 ]} Si${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$es una congruencia y la denotamos por${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$el conjunto de todas las congruencias que contienen${\displaystyle \Phi }$(es decir${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$es un filtro principal en${\displaystyle \operatorname {Con} A}$, además es una subred), entonces el mapa ${\displaystyle \alpha$ :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi } es un isomorfismo reticular. ^{[ 21 ] [ 22 ]}