Punto isoperimétrico

En geometría , el punto isoperimétrico es el centro de un triángulo , un punto especial asociado con un triángulo plano . El término fue introducido originalmente por GR Veldkamp en un artículo publicado en la revista American Mathematical Monthly en 1985 para denotar un punto P en el plano de un triángulo △ ABC que tiene la propiedad de que los triángulos △ PBC , △ PCA , △ PAB tienen isoperímetros, es decir, tienen la propiedad de que ^{[1] [2]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {PB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CP}},\\=\ &{\overline {PC}}+{\overline {CA}}+{\overline {AP}},\\=\ &{\overline {PA}}+{\overline {AB}}+{\overline {BP}}.\end{aligned}}}$$

Los puntos isoperimétricos en el sentido de Veldkamp existen sólo para triángulos que satisfacen ciertas condiciones. El punto isoperimétrico de △ ABC en el sentido de Veldkamp, ​​si existe, tiene las siguientes coordenadas trilineales . ^[3]

$${\displaystyle \sec {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}-1\ :\ \sec {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}-1\ :\ \sec {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}-1}$$

Dado cualquier triángulo △ ABC se le puede asociar un punto P que tenga coordenadas trilineales como las dadas arriba. Este punto es un centro de triángulo y en la Enciclopedia de Centros de Triángulos (ETC) de Clark Kimberling se le llama el punto isoperimétrico del triángulo △ ABC . Se designa como el centro del triángulo X (175). ^[4] El punto X (175) no necesita ser un punto isoperimétrico del triángulo △ ABC en el sentido de Veldkamp. Sin embargo, si existe un punto isoperimétrico del triángulo △ ABC en el sentido de Veldkamp, ​​entonces sería idéntico al punto X (175).

El punto P con la propiedad de que los triángulos △ PBC , △ PCA , △ PAB tienen perímetros iguales fue estudiado ya en 1890 en un artículo de Emile Lemoine . ^{[4] [5]}

Sea △ ABC un triángulo cualquiera. Sean las longitudes de los lados de este triángulo a, b, c . Sea su radio circunscrito R y su radio interior r . La condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto isoperimétrico en el sentido de Veldkamp puede enunciarse de la siguiente manera. ^[1]

El triángulo △ ABC tiene un punto isoperimétrico en el sentido de Veldkamp si y sólo si$${\displaystyle a+b+c>4R+r.}$$

Para todos los triángulos acutángulos △ ABC tenemos a + b + c > 4 R + r , y por lo tanto todos los triángulos acutángulos tienen puntos isoperimétricos en el sentido de Veldkamp.

Sea P el centro del triángulo X (175) del triángulo △ ABC . ^[4]

• P se encuentra en la línea que une el incentro y el punto de Gergonne de △ ABC .
• Si P es un punto isoperimétrico de △ ABC en el sentido de Veldkamp, ​​entonces los excírculos de los triángulos △ PBC , △ PCA , △ PAB son tangentes entre sí por pares y P es su centro radical.
• Si P es un punto isoperimétrico de △ ABC en el sentido de Veldkamp, ​​entonces los perímetros de △ PBC , △ PCA , △ PAB son iguales a

$${\displaystyle {\frac {2\triangle }{{\bigl |}4R+r-(a+b+c){\bigr |}}}}$$ donde △ es el área, R es el radio circunscrito, r es el radio interno y a, b, c son las longitudes de los lados de △ ABC . ^[6]

Dado un triángulo △ ABC se pueden dibujar círculos en el plano de △ ABC con centros en A, B, C tales que sean tangentes entre sí externamente. En general, se pueden dibujar dos círculos nuevos tales que cada uno de ellos sea tangente a los tres círculos con A, B, C como centros. (Uno de los círculos puede degenerar en una línea recta). Estos círculos son los círculos de Soddy de △ ABC . El círculo con el radio más pequeño es el círculo de Soddy interior y su centro se llama punto de Soddy interior o centro de Soddy interior de △ ABC . El círculo con el radio más grande es el círculo de Soddy exterior y su centro se llama punto de Soddy exterior o centro de Soddy exterior del triángulo △ ABC . ^{[6] [7]}

El centro del triángulo X (175), el punto isoperimétrico en el sentido de Kimberling, es el punto Soddy exterior de △ ABC .

• Puntos de desvío isoperimétricos e iguales - ilustración interactiva en Geogebratube