Conjunto isósceles

En geometría discreta , un conjunto isósceles es un conjunto de puntos tal que cada tres de ellos forman un triángulo isósceles . Más precisamente, cada tres puntos deben determinar como máximo dos distancias; esto también permite la existencia de triángulos isósceles degenerados formados por tres puntos equidistantes en una línea.

El problema de encontrar el conjunto isósceles más grande en un espacio euclidiano de una dimensión dada fue planteado en 1946 por Paul Erdős . En su enunciado del problema, Erdős observó que el conjunto isósceles más grande en el plano euclidiano tiene seis puntos. ^{[ 1 ]} En su solución de 1947, Leroy Milton Kelly demostró con mayor contundencia que el único conjunto isósceles planar de seis puntos consiste en los vértices y el centro de un pentágono regular . En tres dimensiones, Kelly encontró un conjunto isósceles de ocho puntos, seis de los cuales son iguales; los dos puntos restantes se encuentran en una línea perpendicular al pentágono que pasa por su centro, a la misma distancia que los vértices del pentágono del centro. ^{[ 2 ]} Posteriormente se demostró que este ejemplo tridimensional era óptimo y la única solución óptima. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

El conjunto isósceles tridimensional de ocho puntos de Kelly se puede descomponer en dos conjuntos.${\displaystyle X}$(los tres puntos en una línea perpendicular al pentágono) y${\displaystyle Y}$(los cinco vértices del pentágono), con la propiedad de que cada punto en${\displaystyle X}$es equidistante de todos los puntos de${\displaystyle Y}$. Cuando tal descomposición es posible, en espacios euclidianos de cualquier dimensión,${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$deben estar en subespacios perpendiculares,${\displaystyle X}$debe ser un conjunto isósceles dentro de su subespacio, y el conjunto${\displaystyle Y'}$formado a partir de${\displaystyle Y}$Al añadir el punto en la intersección de sus dos subespacios, también debe ser un conjunto isósceles dentro de su subespacio. De esta forma, un conjunto isósceles en dimensiones altas a veces puede descomponerse en conjuntos isósceles en dimensiones más bajas. Por otro lado, cuando un conjunto isósceles no tiene una descomposición de este tipo, entonces debe tener una propiedad más fuerte que ser isósceles: tiene solo dos distancias entre todos los pares de puntos. ^{[ 5 ]}

A pesar de este teorema de descomposición, es posible que el conjunto de dos distancias más grande y el conjunto isósceles más grande en la misma dimensión tengan tamaños diferentes. Esto sucede, por ejemplo, en el plano, donde el conjunto de dos distancias más grande tiene cinco puntos (los vértices de un pentágono regular), mientras que el conjunto isósceles más grande tiene seis puntos. En este caso, el conjunto isósceles de seis puntos tiene una descomposición donde${\displaystyle X}$es el conjunto unitario del punto central (en un espacio de dimensión cero) y${\displaystyle Y}$consta de todos los puntos restantes. ^{[ 5 ]}

En${\displaystyle d}$espacio -dimensional, un conjunto isósceles puede tener como máximo $${\displaystyle {\binom {d+2}{2}}}$$ puntos. ^{[ 5 ]} Esto es ajustado para${\displaystyle d=6}$y para${\displaystyle d=8}$pero no necesariamente para otras dimensiones. El número máximo de puntos en una${\displaystyle d}$conjunto isósceles de -dimensiones, para${\displaystyle d=1,2,\dots ,8}$, se sabe que es ^{[ 6 ]}

3, 6, 8, 11, 17, 28, 30, 45 (secuencia A175769 en el OEIS )

pero estos números no se conocen para dimensiones superiores. ^{[ 7 ]}

Lisoněk proporciona la siguiente construcción de conjuntos de dos distancias con $${\displaystyle {\binom {d+1}{2}}}$$ puntos, lo que también produce conjuntos isósceles con $${\displaystyle {\binom {d+1}{2}}+1}$$ puntos. En${\displaystyle d+1}$Espacio euclidiano de -dimensiones, sea${\displaystyle e_{i}}$(para${\displaystyle i=1,\dots ,d+1}$) denota el vector a una distancia unitaria del origen a lo largo del${\displaystyle i}$eje de coordenadas y construir el conjunto${\displaystyle S}$compuesto por todos los puntos${\displaystyle e_{i}+e_{j}}$para${\displaystyle i\neq j}$. Entonces${\displaystyle S}$se encuentra en el${\displaystyle d}$Subespacio dimensional de puntos con suma de coordenadas${\displaystyle 2}$; su envoltura convexa es el hipersímplex${\displaystyle \Delta _{d+1,2}}$. Solo tiene dos distancias: dos puntos formados a partir de sumas de pares superpuestos de vectores unitarios tienen distancia${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, mientras que dos puntos formados a partir de pares disjuntos de vectores unitarios tienen distancia${\displaystyle 2}$. Añadiendo un punto más a${\displaystyle S}$en su centroide forma un${\displaystyle d}$Conjunto isósceles de -dimensiones . Por ejemplo, para${\displaystyle d=3}$Esta construcción produce un conjunto isósceles subóptimo con siete puntos, los vértices y el centro de un octaedro regular , en lugar del conjunto óptimo de ocho puntos. ^{[ 6 ]}

El mismo problema también puede considerarse para otros espacios métricos . Por ejemplo, para los espacios de Hamming , se conocen cotas superiores algo menores que para los espacios euclidianos de la misma dimensión. ^{[ 7 ]} En un espacio ultramétrico , todo el espacio (y cualquiera de sus subconjuntos) es un conjunto isósceles. Por lo tanto, a los espacios ultramétricos a veces se les llama espacios isósceles. Sin embargo, no todo conjunto isósceles es ultramétrico; por ejemplo, los triángulos isósceles euclidianos obtusos no son ultramétricos. ^{[ 8 ]}