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Articulo de referencia

Módulo de compresibilidad

Ilustración de compresión uniforme El módulo de compresibilidad ( K {\displaystyle K} o B {\displaystyle B} o k {\displaystyle k} La resistencia a la compresión de una sustancia...

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Ilustración de compresión uniforme

El módulo de compresibilidad (K{\displaystyle K}oB{\displaystyle B}ok{\displaystyle k}La resistencia a la compresión de una sustancia es una medida de su resistencia a la compresión volumétrica . Se define como la relación entre el aumento infinitesimal de presión y la disminución relativa resultante del volumen . [ 1 ]

Otros módulos describen la respuesta del material ( deformación ) a otros tipos de tensión : el módulo de cizallamiento describe la respuesta a la tensión de cizallamiento y el módulo de Young describe la respuesta a la tensión normal (de estiramiento longitudinal). Para un fluido , solo el módulo volumétrico es significativo. Para un sólido anisotrópico complejo como la madera o el papel , estos tres módulos no contienen suficiente información para describir su comportamiento, y se debe utilizar la ley de Hooke generalizada completa . El recíproco del módulo volumétrico a temperatura constante se denomina compresibilidad isotérmica .

Definición

El módulo de compresibilidadK{\displaystyle K}(que suele ser positivo) puede definirse formalmente mediante la ecuación

K=−VdPAGdV,{\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}

dóndePAG{\displaystyle P}es presión,V{\displaystyle V}es el volumen inicial de la sustancia, ydPAG/dV{\displaystyle dP/dV}denota la derivada de la presión con respecto al volumen. Dado que el volumen es inversamente proporcional a la densidad, se deduce que

K=ρdPAGdρ,{\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}

dóndeρ{\displaystyle \rho }es la densidad inicial ydPAG/dρ{\displaystyle dP/d\rho }denota la derivada de la presión con respecto a la densidad. El inverso del módulo de compresibilidad proporciona la compresibilidad de una sustancia . Generalmente, el módulo de compresibilidad se define a temperatura constante como el módulo de compresibilidad isotérmico, pero también puede definirse a entropía constante como el módulo de compresibilidad adiabático .

Relación termodinámica

Estrictamente hablando, el módulo de compresibilidad es una magnitud termodinámica , y para especificar un módulo de compresibilidad es necesario especificar cómo varía la presión durante la compresión: temperatura constante (isotérmica)KT{\displaystyle K_{T}}), entropía constante ( isentrópicaKS{\displaystyle K_{S}}), y son posibles otras variaciones. Estas distinciones son especialmente relevantes para los gases .

Para un gas ideal , un proceso isoentrópico tiene:

PAGVγ=constante⇒PAG∝(1V)γ∝ργ,{\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constante}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },}

dóndeγ{\displaystyle \gamma }es la relación de capacidad calorífica . Por lo tanto, el módulo de compresibilidad isoentrópicoKS{\displaystyle K_{S}}es dado por

KS=γPAG.{\displaystyle K_{S}=\gamma P.}

De manera similar, un proceso isotérmico de un gas ideal tiene:

PAGV=constante⇒PAG∝1V∝ρ,{\displaystyle PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}

Por lo tanto, el módulo de compresibilidad isotérmicoKT{\displaystyle K_{T}}es dado por

KT=PAG{\displaystyle K_{T}=P}.

Cuando el gas no es ideal, estas ecuaciones solo proporcionan una aproximación del módulo de compresibilidad. En un fluido, el módulo de compresibilidadK{\displaystyle K}y la densidadρ{\displaystyle \rho }determinar la velocidad del sonidodo{\displaystyle c}( ondas de presión ), según la fórmula de Newton-Laplace

do=KSρ.{\displaystyle c={\sqrt {\frac {K_{S}}{\rho }}}.}

En sólidos,KS{\displaystyle K_{S}}yKT{\displaystyle K_{T}}tienen valores muy similares. Los sólidos también pueden soportar ondas transversales : para estos materiales se necesita un módulo elástico adicional , por ejemplo el módulo de corte, para determinar las velocidades de las ondas.

Medición

Es posible medir el módulo de compresibilidad mediante difracción de polvo bajo presión aplicada [ 2 ] o a temperaturas elevadas, [ 3 ] así como mediante otros métodos para fluidos, [ 4 ] elastómeros, [ 5 ] minerales como olivinos, [ 6 ] mediante cálculos teóricos, [ 7 ] e incluso materiales granulares como granos de arena. [ 8 ]

Valores seleccionados

Influencia de la adición de componentes de vidrio seleccionados en el módulo de compresibilidad de un vidrio base específico. [ 13 ]

Un material con un módulo de compresibilidad de 35  GPa pierde el uno por ciento de su volumen cuando se somete a una presión externa de 0,35  GPa (~3500  bar ) (se supone un módulo de compresibilidad constante o débilmente dependiente de la presión).

Origen microscópico

Potencial interatómico y elasticidad lineal

La figura de la izquierda muestra el potencial interatómico y la posición de equilibrio, mientras que la de la derecha muestra la fuerza.
Potencial y fuerza interatómica

Dado que la elasticidad lineal es un resultado directo de la interacción interatómica, está relacionada con la extensión/compresión de los enlaces. Por lo tanto, puede derivarse del potencial interatómico para materiales cristalinos. [ 16 ] Primero, examinemos la energía potencial de dos átomos que interactúan. Partiendo de puntos muy distantes, experimentarán una atracción mutua. A medida que se acercan, su energía potencial disminuirá. Por otro lado, cuando dos átomos están muy cerca, su energía total será muy alta debido a la interacción repulsiva. En conjunto, estos potenciales garantizan una distancia interatómica que alcanza un estado de energía mínima. Esto ocurre a una distancia r 0 , donde la fuerza total es cero:

F=−∂U∂r=0{\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}

Donde U es el potencial interatómico y r es la distancia interatómica. Esto significa que los átomos están en equilibrio.

Para extender el enfoque de dos átomos al sólido, consideremos un modelo simple, por ejemplo, una matriz unidimensional de un elemento con una distancia interatómica r, y la distancia de equilibrio es r 0 . Su relación energía potencial-distancia interatómica tiene una forma similar al caso de dos átomos, que alcanza un mínimo en r 0 . La expansión de Taylor para esto es:

tú(r)=tú(r0)+(∂tú∂r)r=r0(r−r0)+12(∂2∂r2tú)r=r0(r−r0)2+O((r−r0)3){\displaystyle u(r)=u(r_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})^{2}+O\left((r-r_{0})^{3}\right)}

En el equilibrio, la primera derivada es 0, por lo que el término dominante es el cuadrático. Cuando el desplazamiento es pequeño, deben omitirse los términos de orden superior. La expresión se convierte en:

tú(r)=tú(r0)+12(∂2∂r2tú)r=r0(r−r0)2{\displaystyle u(r)=u(r_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})^{2}}
F(a)=−∂tú∂r=(∂2∂r2tú)r=r0(r−r0){\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})}

Lo cual es claramente elasticidad lineal.

Nótese que la derivación se realiza considerando dos átomos vecinos, por lo que el coeficiente de Hooke es:

K=r0dFdr=r0(∂2∂r2tú)r=r0{\displaystyle K=r_{0}{dF \over dr}=r_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}}

Esta forma se puede extender fácilmente al caso 3D, utilizando el volumen por átomo (Ω) en lugar de la distancia interatómica.

K=Ω0(∂2∂Ω2tú)Ω=Ω0{\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Propiedades elásticas volumétricas" . Hyperphysics . Universidad Estatal de Georgia.
  2. ↑ Nelmes, RJ; Loveday, JS; Allan, DR; Besson, JM; Hamel, G.; Grima, P.; Hull, S. (1993-04-01). "Mediciones de difracción de neutrones y rayos X del módulo de compresibilidad del boro" . Physical Review B. 47 ( 13): 7668– 7673. Bibcode : 1993PhRvB..47.7668N . doi : 10.1103/PhysRevB.47.7668 . ISSN 0163-1829 . PMID 10004773 .  
  3. ↑ Angel, RJ (2000-01-01). "Ecuaciones de estado" . Reviews in Mineralogy and Geochemistry . 41 (1): 35– 59. Bibcode : 2000RvMG...41...35A . doi : 10.2138/rmg.2000.41.2 . ISSN 1529-6466 . 
  4. ↑ Gholizadeh, Hossein; Burton, Richard; Schoenau, Greg (2011-01-01). "Módulo de compresibilidad de fluidos: una revisión de la literatura" . International Journal of Fluid Power . 12 (3): 5– 15. doi : 10.1080/14399776.2011.10781033 . ISSN 1439-9776 . 
  5. ↑ Fishman, Kl; Machmer, D (1994-03-01). "Técnicas de ensayo para la medición del módulo de compresibilidad" . Journal of Testing and Evaluation . 22 (2): 161– 167. doi : 10.1520/JTE12650J . ISSN 0090-3973 . 
  6. ↑ Angel, Ross J.; Alvaro, Matteo; Nestola, Fabrizio (2018-02-01). "40 años de elasticidad mineral: una revisión crítica y una nueva parametrización de ecuaciones de estado para olivinos del manto e inclusiones de diamante" . Física y Química de los Minerales . 45 (2): 95– 113. Bibcode : 2018PCM....45...95A . doi : 10.1007/s00269-017-0900-7 . ISSN 1432-2021 . 
  7. ↑ Ziambaras, Eleni; Schröder, Elsebeth (27-08-2003). "Teoría para la determinación de la estructura y el módulo de compresibilidad" . Physical Review B. 68 ( 6) 064112. arXiv : cond-mat/0304075 . Bibcode : 2003PhRvB..68f4112Z . doi : 10.1103/PhysRevB.68.064112 . ISSN 0163-1829 . 
  8. ↑ Molis, Joseph C.; Chotiros, Nicholas P. (1992-04-01). "Una medición del módulo de compresibilidad de los granos de arenas" . The Journal of the Acoustical Society of America . 91 (4_Suplemento): 2463. Bibcode : 1992ASAJ...91.2463M . doi : 10.1121/1.403041 . ISSN 0001-4966 . 
  9. ↑ Página 52 de " Introducción a la física del estado sólido , 8.ª edición" de Charles Kittel, 2005, ISBN 0-471-41526-X
  10. ↑ Gallas, Marcia R.; Piermarini, Gasper J. (1994). "Módulo de compresibilidad y módulo de Young de la γ-alúmina nanocristalina" . Journal of the American Ceramic Society . 77 (11): 2917– 2920. doi : 10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x . ISSN 1551-2916 . 
  11. ↑ "Página de propiedades del grafito por John A. Jaszczak" . pages.mtu.edu . Consultado el 16 de julio de 2021 .
  12. ↑ "Caucho de silicona" . Materiales AZO .
  13. ↑ Fluegel, Alexander. "Cálculo del módulo de compresibilidad de los vidrios" . glassproperties.com .
  14. ↑ Liu, AY; Cohen, ML (1989). "Predicción de nuevos sólidos de baja compresibilidad". Science. 245 (4920): 841–842.
  15. ↑ Ledbetter, H.; Migliori, A.; Betts, J.; Harrington, S.; El-Khatib, S. (2005-05-31). "Módulo de compresibilidad a temperatura cero del alfa-plutonio" . Physical Review B. 71 ( 17) 172101. Bibcode : 2005PhRvB..71q2101L . doi : 10.1103/PhysRevB.71.172101 . ISSN 1098-0121 . 
  16. ↑ H., Courtney, Thomas (2013). Comportamiento mecánico de los materiales (2.ª ed. reimp .). Nueva Delhi: McGraw Hill Education (India). ISBN  978-1259027512OCLC 929663641​​ {{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

Lecturas adicionales

  • De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). "Cartografía de las propiedades elásticas completas de compuestos cristalinos inorgánicos" . Scientific Data . 2 150009. Bibcode : 2015NatSD...250009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC 4432655. PMID 25984348 .