Representación isotípica

En la teoría de grupos , una representación isotípica , primaria o factorial ^{[ 1 ]} de un grupo G es una representación unitaria.${\displaystyle \pi :G\longrightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$de tal manera que cualesquiera dos subrepresentaciones tengan sub-subrepresentaciones equivalentes. ^{[ 2 ]} Esto está relacionado con la noción de una representación primaria o factor de un álgebra C* , o con el factor para un álgebra de von Neumann : la representación${\displaystyle \pi }$de G es isotípico si y solo si${\displaystyle \pi (G)^{''}}$es un factor.

Este término se utiliza más generalmente en el contexto de módulos semisimples .

Una de las propiedades interesantes de esta noción reside en el hecho de que dos representaciones isotípicas son cuasi-equivalentes o disjuntas (en analogía con el hecho de que las representaciones irreducibles son unitariamente equivalentes o disjuntas).

Esto se puede entender a través de la correspondencia entre las representaciones factoriales y la proyección central mínima (en un álgebra de von Neumann). ^{[ 3 ]} Dos proyecciones centrales mínimas son entonces iguales u ortogonales.

Sea G un grupo compacto. Un corolario del teorema de Peter-Weyl establece que cualquier representación unitaria${\displaystyle \pi :G\longrightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$en un espacio de Hilbert separable${\displaystyle {\mathcal {H}}}$es una suma directa posiblemente infinita de representaciones irreducibles de dimensión finita. Una representación isotípica es cualquier suma directa de representaciones irreducibles equivalentes que aparecen (típicamente varias veces) en${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

• Deitmar, A.; Echterhoff, S. (2014). Principios del análisis armónico . Universitext. Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-05792-7.
• Dixmier, Jacques (1982). Álgebras C* . North-Holland Publ. Co. ISBN 0-444-86391-5OCLC 832825844​​ 

• Mackey
• “Grupos de Mentira”, Claudio Procesi, der. pag.  156.
• "Grupo y simetrías", Yvette Kosmann-Schwarzbach